Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
f(x, y)=e^x^2-y^2

Passo 1

A função dada é f(x,y)=e{x2 - y^2}. O conteúdo aqui é derivadas parciais de primeira e segunda ordem, e vamos usar principalmente a regra da cadeia (para composições) e a regra do produto (quando a derivada envolver produto de funções).

Passo 2

Introduzimos a função auxiliar
nu(x,y)=x^2 - y^2
para simplificar as contas. Então suas derivadas parciais são
nux = 2x,
nuy = -2y

Passo 3

Pela regra da cadeia, as derivadas parciais de primeira ordem são
$$
f_x = e^{\nu}\nu_x = 2x e{x2 - y^2},$$
$$
f_y = e^{\nu}\nu_y = -2y e{x2 - y^2}.$$

Passo 4

Para obter as derivadas de segunda ordem puras, aplicamos a regra do produto e a cadeia novamente.
Derivando f_x=2x e^{\nu} em relação a x:
$$
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(2x)e^{\nu} + 2x\frac{\partial}{\partial x}(e^{\nu}) = 2e^{\nu} + 2x(e^{\nu}\nu_x) = (4x^2 + 2)e{x2 - y^2}.$$Derivando f_y=-2y e^{\nu} em relação a y:
$$
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(-2y)e^{\nu} + (-2y)\frac{\partial}{\partial y}(e^{\nu}) = -2e^{\nu} + (-2y)(e^{\nu}\nu_y) = (4y^2 - 2)e{x2 - y^2}.$$

Passo 5

Para as derivadas mistas, derivamos f_x em relação a y e f_y em relação a x. Como a função é C^2 suave, f_{xy}=f_{yx}.
Derivando f_x=2x e^{\nu} em relação a y:
$$
f_{xy} = 2x\frac{\partial}{\partial y}(e^{\nu}) = 2x(e^{\nu}\nu_y) = -4xy e{x2 - y^2}.$$Verificando f_{yx} a partir de f_y dá o mesmo valor.

Passo 6

Portanto, as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (incluindo as cruzadas) foram encontradas.

Resposta

f_x = 2x e{x2 - y^2};
f_y = -2y e{x2 - y^2};
f_{xx} = (4x^2 + 2) e{x2 - y^2};
f_{yy} = (4y^2 - 2) e{x2 - y^2};
f_{xy} = f_{yx} = -4xy e{x2 - y^2}.

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