Considere o campo vetorial F(x, y)=lang<= e^y, x e^y+2 yrang<=
Confirme que o campo F é conservativo em todo plano e encontre uma função potencial phi para F.

Passo 1

Temos o campo vetorial F(x,y)=lang<= e^y,,x e^y+2yrang<=. O objetivo é mostrar que ele é conservativo em R^2 e achar uma função potencial phi(x,y).

Passo 2

Para testar se F é conservativo, tomamos P(x,y)=e^y e Q(x,y)=x e^y+2y e comparamos as derivadas parciais: partial P/partial y=e^y e partial Q/partial x=e^y. Como são iguais em todo o plano, F é conservativo.

Passo 3

Sabendo que F é conservativo, existe phi(x,y) tal que partial phi/partial x=P=e^y. Integramos em relação a x: phi(x,y)=integral e^y,dx=x e^y+h(y), onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para encontrar h(y), usamos partial phi/partial y=x e^y+h'(y) e igualamos a Q=x e^y+2y. Assim, h'(y)=2y, logo h(y)=y^2+C, com C constante arbitrária.

Resposta

Uma função potencial é phi(x,y)=x e^y+y^2+C, mostrando que o campo é conservativo.

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