Nos Problemas 31-44, resolva a equação diferencial dada sujecita à condição inicial indicada.
(x+raizx y) d yd x+x-y=x^-1 / 2 y^3 / 2, y(1)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem (não linear)\
(x+raizx,y)dydx + x - y = x^-1/2y^3/2 com a condição inicial y(1)=1. Vamos usar uma substituição que simplifique as raízes e transforme em equação separável.

Passo 2

Note que aparece raizx,y. Fazendo a troca u=raizy/x temos
y = u^2 x,
então derivando em relação a x:
dydx = 2ududx,x + u^2
Além disso, raizx,y=u,x.

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação original e dividindo tudo por x, obtemos
(1+u)l(2u,xdudx + u^2r) + (1 - u^2) = u^3
Ao expandir e simplificar, chega-se a
2u(1+u)xdudx + 1 = 0

Passo 4

Rearranjando, fica uma equação separável:
duu(1+u) = -12dxx
Integramos ambos os lados:
integrall(1u - 11+ur)du = -12integraldxx
que leva a
lnu1+u = -tfrac12ln x + C

Passo 5

Para determinar a constante C, usamos x=1 e y=1, o que dá u=raiz1/1=1. Assim,
ln12 = C,
o que implica
u1+u = 12x^-1/2

Passo 6

Isolando u em função de x:
u = tfrac12 x^-1/21 - tfrac12 x^-1/2 = 12raizx-1

Passo 7

Voltando à variável original,
y = u^2 x = xl(tfrac12raizx-1r)^2 = x(2raizx-1)^2

Resposta

y(x)=\frac{x}{(2\sqrt{x}-1)^2}

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