Calcule
, sendo:
,
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada em relação a t da função composta z(r(t),s(t)), onde o conteúdo é regra da cadeia para funções de várias variáveis. Temos z(r,s)=r3−s3, r(t)=1/(1+t) e s(t)=t/(1+t).
Passo 2
Para funções z(r,s) com r=r(t) e s=s(t), aplicamos a regra da cadeia: dz/dt = ∂z/∂r · dr/dt + ∂z/∂s · ds/dt. Essa ideia vem de entender que a variação total de z vem da variação de r e da variação de s.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de z: z = r^3 − s^3 implica ∂z/∂r = 3r^2 e ∂z/∂s = −3s^2.
Passo 4
Agora achamos dr/dt e ds/dt. Como r(t)=1/(1+t), temos dr/dt = −1/(1+t)^2. E s(t)=t/(1+t) dá, pelo quociente, ds/dt = [1·(1+t) − t·1]/(1+t)^2 = 1/(1+t)^2.
Passo 5
Substituindo na regra da cadeia: dz/dt = 3r2·(−1/(1+t)2) + (−3s2)·(1/(1+t)2). Fatorando: dz/dt = −3(r^2 + s2)/(1+t)2.
Passo 6
Por fim, substituímos r^2 = 1/(1+t)^2 e s^2 = t2/(1+t)2 para simplificar: r^2 + s^2 = (1 + t2)/(1+t)2. Então finalizamos a simplificação para obter