Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes fun ções:
f(x, y)=3 x^2+4 x y^3+7 y^3

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=3x^2+4xy^3+7y^3
e pede as derivadas parciais de primeira ordem ( partial f/partial x, partial f/partial y) e de segunda ordem ( partial^2f/partial x^2, partial^2f/partial xpartial y, partial^2f/partial y^2). Vamos usar a definição de derivada parcial, mantendo a outra variável constante a cada diferenciação.

Passo 2

Calculamos partial fpartial x, tratando y como constante.
Derivada de 3x^2 em relação a x é 6x.
Derivada de 4x y^3 em relação a x é 4y^3.
Derivada de 7y^3 é zero.
Logo,
partial fpartial x=6x+4y^3

Passo 3

Calculamos partial fpartial y, tratando x como constante.
Derivada de 3x^2 é zero.
Derivada de 4x y^3 é 4xcdot 3y^2=12xy^2.
Derivada de 7y^3 é 7cdot3y^2=21y^2.
Portanto,
partial fpartial y=12xy^2+21y^2=(12x+21)y^2

Passo 4

Para obter as derivadas parciais de segunda ordem, vamos diferenciar partial f/partial x e partial f/partial y mais uma vez em relação a x e y.

Passo 5

Derivando partial fpartial x=6x+4y^3:
- Em relação a x:
partial^2fpartial x^2=6
- Em relação a y:
partial^2fpartial xpartial y=12y^2

Passo 6

Derivando partial fpartial y=12xy^2+21y^2 em relação a y:
partial^2fpartial y^2=24xy+42y

Resposta

fx=6x+4y^3 fy=12xy^2+21y^2 fxx=6 fxy=fyx=12y^2 fyy=24xy+42y

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