Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes fun ções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais de primeira ordem (
,
) e de segunda ordem (
,
,
). Vamos usar a definição de derivada parcial, mantendo a outra variável constante a cada diferenciação.
Passo 2
Calculamos
, tratando
como constante.
Derivada de em relação a
é
.
Derivada de em relação a
é
.
Derivada de é zero.
Logo,
Derivada de
Derivada de
Derivada de
Logo,
Passo 3
Calculamos
, tratando
como constante.
Derivada de é zero.
Derivada de é
.
Derivada de é
.
Portanto,
Derivada de
Derivada de
Derivada de
Portanto,
Passo 4
Para obter as derivadas parciais de segunda ordem, vamos diferenciar
e
mais uma vez em relação a
e
.
Passo 5
Derivando
:
- Em relação a :
- Em relação a
- Em relação a
:
Passo 6
Derivando
em relação a
: