Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes fun ções:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem. Vamos usar a regra do produto (para
) e a regra da cadeia (para derivar
e
).
Passo 2
Para obter a derivada parcial em relação a
, tratamos
como constante. Aplicando a regra do produto e sabendo que
, temos
Passo 3
Para a derivada parcial em relação a
, tratamos
como constante. Como
, resulta
Passo 4
Agora calculamos as derivadas de segunda ordem puras.
Derivando em relação a
, com
, obtemos
Derivando
Derivando
em relação a
, com
, obtemos
Passo 5
Por fim, as derivadas mistas.
Derivando em relação a
, com
, temos
Derivando
Derivando
em relação a
, com
, resulta
Note que
, como esperado para funções suficientemente suaves.