Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes fun ções:
f(x, y)=sin (x) cos (y)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=sin(x)cos(y)
e pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem. Vamos usar a regra do produto (para sin(x)cos(y)) e a regra da cadeia (para derivar sin e cos).

Passo 2

Para obter a derivada parcial em relação a x, tratamos y como constante. Aplicando a regra do produto e sabendo que ddxsin(x)=cos(x), temos
fx(x,y)=partialpartial xl(sin(x)cos(y)r) =cos(x)cos(y)

Passo 3

Para a derivada parcial em relação a y, tratamos x como constante. Como ddycos(y)=-sin(y), resulta
fy(x,y)=partialpartial yl(sin(x)cos(y)r) =-sin(x)sin(y)

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem puras.
Derivando fx em relação a x, com ddxcos(x)=-sin(x), obtemos
fxx(x,y)=partialpartial xl(cos(x)cos(y)r) =-sin(x)cos(y)
Derivando fy em relação a y, com ddysin(y)=cos(y), obtemos
fyy(x,y)=partialpartial yl(-sin(x)sin(y)r) =-sin(x)cos(y)

Passo 5

Por fim, as derivadas mistas.
Derivando fx em relação a y, com ddycos(y)=-sin(y), temos
fxy(x,y)=partialpartial yl(cos(x)cos(y)r) =-cos(x)sin(y)
Derivando fy em relação a x, com ddxsin(x)=cos(x), resulta
fyx(x,y)=partialpartial xl(-sin(x)sin(y)r) =-cos(x)sin(y)
Note que fxy=fyx, como esperado para funções suficientemente suaves.

Resposta

fx(x,y)=cos(x)cos(y)
fy(x,y)=-sin(x)sin(y)
fxx(x,y)=-sin(x)cos(y)
fxy(x,y)=-cos(x)sin(y)
fyx(x,y)=-cos(x)sin(y)
fyy(x,y)=-sin(x)cos(y)

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