Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função.
f(x)=3 x^2+17 x-1+5

Passo 1

O enunciado pede para determinar em quais pontos a função
f(x)=3x^2+17x-1+5
é diferenciável e calcular f'(x).
O conteúdo que vamos usar é o da derivada de soma (constante) e a regra do quociente para derivadas.

Passo 2

Para a diferenciabilidade, note que 3x^2+17x-1 é quociente de polinômios e está bem definida sempre que o denominador (7x-1)neq0. Portanto o domínio é
D=xinRmid 7x-1neq0=Rsetminustfrac17,
e f é diferenciável em todo D.

Passo 3

Separe
u(x)=3x^2+1, v(x)=7x-1,
de modo que uv é a parte não constante de f. Pela regra do quociente,
l(tfracuvr)'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Aqui u'(x)=6x e v'(x)=7.

Passo 4

Substituindo na fórmula da regra do quociente:
l(tfracuvr)'(x) =6x,(7x-1)-7,(3x^2+1)(7x-1)^2 =42x^2-6x-21x^2-7(7x-1)^2 =21x^2-6x-7(7x-1)^2
Como a derivada de 5 é zero, concluímos
f'(x)=21x^2-6x-7(7x-1)^2, xneqtfrac17

Resposta

A função f é diferenciável para todos os xinR exceto em x=tfrac17, e
f'(x)=21x^2-6x-7(7x-1)^2

Exercícios relacionados