Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes fun ções:
f(x, y)=sin (x y^2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função
f(x,y)=sinl(xy^2r)
O conteúdo principal aqui é a aplicação da regra da cadeia (para derivar sin(u) e u=xy^2) e da regra do produto (quando u tem fatores em x e y).

Passo 2

Vamos primeiro encontrar as derivadas parciais de primeira ordem.
Para partial fpartial x temos
u = x y^2, f=sin(u)Longrightarrow partial fpartial x =cos(u),partial upartial x =cos(xy^2),(y^2) =y^2cos(xy^2)
Para partial fpartial y fazemos de modo análogo, mas atenção ao produto xcdot y^2:
partial fpartial y =cos(xy^2),partial (xy^2)partial y =cos(xy^2),(2xy) =2,x,y;cos(xy^2)

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de segunda ordem, derivando novamente em x e em y.
  1. partial^2 fpartial x^2 =partialpartial xl(y^2cos(xy^2)r) =y^2l(-sin(xy^2)r),partial (xy^2)partial x =-y^4sin(xy^2)
  2. partial^2 fpartial xpartial y =partialpartial yl(y^2cos(xy^2)r) =2ycos(xy^2)+y^2l(-sin(xy^2)r),(2xy) =2ycos(xy^2)-2x,y^3sin(xy^2)
  3. Pela simetria das segundas derivadas mistas temos
    partial^2 fpartial ypartial x =2ycos(xy^2)-2x,y^3sin(xy^2)
  4. partial^2 fpartial y^2 =partialpartial yl(2xycos(xy^2)r) =2xcos(xy^2)+2xyl(-sin(xy^2)r),(2xy) =2xcos(xy^2)-4x^2y^2sin(xy^2)

Resposta

partial fpartial x(x,y) =y^2cos(xy^2)
partial fpartial y(x,y) =2,x,ycos(xy^2)
partial^2 fpartial x^2(x,y) =-y^4sin(xy^2)
partial^2 fpartial xpartial y(x,y) =2ycos(xy^2)-2x,y^3sin(xy^2)
partial^2 fpartial ypartial x(x,y) =2ycos(xy^2)-2x,y^3sin(xy^2)
partial^2 fpartial y^2(x,y) =2xcos(xy^2)-4x^2y^2sin(xy^2)

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