Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função.
f(x)=x sen(x) cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a diferenciabilidade de
f(x)=xsen(x)cos(x)
e calcular f'(x). Aqui vamos usar que x, sen(x) e cos(x) são funções elementares diferenciáveis em todo R e aplicar a regra do produto e as derivadas de sen e cos.

Passo 2

Como x, sen(x) e cos(x) são diferenciáveis em todo R, o produto
f(x)=xcdotsen(x)cdotcos(x)
também é diferenciável em todo R. Logo, f é diferenciável para todo xinR.

Passo 3

Para achar f'(x) vamos usar a regra do produto em duas etapas:
  1. Tratar u(x)=x e v(x)=sen(x)cos(x), de modo que
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
  1. Sabemos u'(x)=1 e
v(x)=sen(x)cos(x)Longrightarrow v'(x)=cos(x)cos(x)+sen(x)l(-sen(x)r) =cos^2(x)-sen^2(x)=cos(2x)
Substituindo em f'(x):
f'(x)=1cdotl(sen(x)cos(x)r)+xcdotcos(2x) =sen(x)cos(x)+xcos(2x)

Resposta

A função é diferenciável em todo R e
f'(x)=sen(x)cos(x)+xcos(2x)

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