Usando a Regra do Produto, calcule a derevida das funções:
28. g(x)=x^5 ln x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de g(x)=x^5ln x. Estamos na parte de derivadas de funções elementares e vamos usar a Regra do Produto, além de saber que a derivada de x^n é n x^n-1 e a de ln x é 1/x. Note que o domínio natural aqui é x>0.

Passo 2

Pela Regra do Produto, se g(x)=u(x),v(x) então
g'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
No nosso caso, u(x)=x^5 e v(x)=ln x.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de cada parte:
u'(x)=ddxl(x^5r)=5x^4,
v'(x)=ddxl(ln xr)=1x

Passo 4

Substituindo em g'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x), obtemos
g'(x)=l(5x^4r),ln x + x^5,1x
Agora é só simplificar o segundo termo:
x^5,1x=x^4,
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g'(x)=5x^4ln x + x^4
Podemos fatorar x^4 para uma forma mais enxuta:
g'(x)=x^4l(5ln x + 1r)

Resposta

g'(x)=5x^4ln x + x^4
ou equivalentemente
g'(x)=x^4l(5ln x + 1r)

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