Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes fun ções:
f(x, y)=cos (e^x sin y)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=cosl(e^xsin yr)
e pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem. Vamos usar a regra da cadeia para tirar as derivadas de cos(u) com u=e^xsin y e depois, nas segundas derivadas, também o produto de funções.

Passo 2

Para calcular fx, escrevemos u=e^xsin y. Então
ux = partialpartial xe^xsin y = e^xsin ycdotsin y
e aplicamos a regra da cadeia em f=cos(u):
fx = -sin(u),ux = -sinl(e^xsin yr),e^xsin ysin y

Passo 3

Para calcular fy, usamos de novo u=e^xsin y. Temos
uy = partialpartial ye^xsin y = e^xsin ycdot xcos y
e assim
fy = -sin(u),uy = -sinl(e^xsin yr),e^xsin y,xcos y

Passo 4

Agora obtemos as segundas derivadas envolvendo fx:
  1. fxx=partialxl[fxr]. Escreva fx=-sin(u),A com A=e^xsin ysin y. Então
fxx =-l[cos(u),ux,A + sin(u),Axr],
onde ux=e^xsin ysin y e
Ax = partialpartial xl(e^xsin ysin yr) = e^xsin ysin^2 y
Logo
fxx =-cosl(e^xsin yr),e^2xsin ysin^2 y ;-;sinl(e^xsin yr),e^xsin ysin^2 y
  1. fxy=partialyl[fxr]. Ainda com fx=-sin(u),A e A=e^xsin ysin y, temos
fxy =-l[cos(u),uy,A + sin(u),Ayr],
onde uy=e^xsin yxcos y e
Ay =partialpartial yl(e^xsin ysin yr) =e^xsin yxcos ysin y + e^xsin ycos y =e^xsin ycos y,(xsin y+1)
Assim
fxy =-cosl(e^xsin yr),x,e^2xsin ysin ycos y ;-;sinl(e^xsin yr),e^xsin ycos y,(xsin y+1)

Passo 5

Finalmente, obtemos fyy=partialyl[fyr]. Como
fy=-sin(u),B com B=e^xsin y,xcos y,
temos
fyy =-l[cos(u),uy,B + sin(u),Byr],
com uy=e^xsin yxcos y e
By =partialpartial yl(e^xsin yxcos yr) =e^xsin yxcos y,(xcos y) ;-; e^xsin yxsin y =e^xsin yl(x^2cos^2 y - xsin yr)
Logo
fyy =-cosl(e^xsin yr),e^2xsin yx^2cos^2 y ;-;sinl(e^xsin yr),e^xsin yl(x^2cos^2 y - xsin yr)

Resposta

fx&=-sinl(e^xsin yr),e^xsin ysin y, fy&=-sinl(e^xsin yr),e^xsin y,xcos y, fxx&=-cosl(e^xsin yr),e^2xsin ysin^2 y -sinl(e^xsin yr),e^xsin ysin^2 y, fxy&=-cosl(e^xsin yr),x,e^2xsin ysin ycos y -sinl(e^xsin yr),e^xsin ycos y,(xsin y+1), fyy&=-cosl(e^xsin yr),e^2xsin yx^2cos^2 y -sinl(e^xsin yr),e^xsin yl(x^2cos^2 y - xsin yr)

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