Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para determinar todos os pontos onde
é diferenciável e calcular
. O conteúdo envolvido são as regras de derivação: regra do poder, regra do produto e derivada de função trigonométrica.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio de
. Como aparece
, só faz sentido para
. Além disso, reescrevemos
logo
definida em
.
Passo 3
Para
,
é soma de funções elementares diferenciáveis (potência e produto com cosseno), então é diferenciável. Aplicando as regras:
. Derivada de
pela regra do poder:
Somando, para
,
Passo 4
Resta verificar a diferenciabilidade em
. Temos
. Calculamos
Como este limite existe e é finito,
é diferenciável em
e
.
Resposta
A função
é diferenciável em todo
. Sua derivada é