Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função.
f(x)=x raizx+x^3 cos (x)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=xraizx+x^3cos(x)
e pede para determinar todos os pontos onde f é diferenciável e calcular f'(x). O conteúdo envolvido são as regras de derivação: regra do poder, regra do produto e derivada de função trigonométrica.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio de f. Como aparece raizx, só faz sentido para x>=0. Além disso, reescrevemos
xraizx=xcdot x^tfrac12=x^tfrac32,
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f(x)=x^tfrac32+x^3cos(x),
definida em [0,infty).

Passo 3

Para x>0, f é soma de funções elementares diferenciáveis (potência e produto com cosseno), então é diferenciável. Aplicando as regras:
1. Derivada de x^tfrac32 pela regra do poder:
ddxl(x^tfrac32r)=tfrac32,x^tfrac12
2. Derivada de x^3cos(x) pela regra do produto:
ddxl(x^3cos(x)r) =3x^2cos(x)+x^3l(-sin(x)r) =3x^2cos(x)-x^3sin(x)
Somando, para x>0,
f'(x)=tfrac32,x^tfrac12+3x^2cos(x)-x^3sin(x)

Passo 4

Resta verificar a diferenciabilidade em x=0. Temos f(0)=0^tfrac32+0^3cos(0)=0. Calculamos
f'(0)=limhto0^+f(h)-f(0)h =limhto0^+hraizh+h^3cos(h)h =limhto0^+l(raizh+h^2cos(h)r)=0
Como este limite existe e é finito, f é diferenciável em 0 e f'(0)=0.

Resposta

A função f é diferenciável em todo [0,infty). Sua derivada é
f'(x)= 0, & x=0,[6pt] tfrac32 , x^tfrac12 + 3x^2cos(x) - x^3sin(x), & x>0 ]

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