Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função.
Passo 1
O enunciado pede para achar onde a função
é diferenciável e calcular sua derivada. O conteúdo envolve derivadas de funções trigonométricas e uso da regra da cadeia (ou do quociente). Vamos lembrar que
define o domínio e que podemos reescrever
.
Passo 2
Determinar o domínio de diferenciabilidade. Como
, a função existe e é diferenciável exatamente quando o denominador não se anula, ou seja,
Portanto o domínio de diferenciabilidade é
Passo 3
Calcular a derivada usando a regra da cadeia em
. Seja
. Então
logo
e como
, temos
Também se pode escrever
Resposta
A função
é diferenciável para todo
,
, e sua derivada é