Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função.
csc (x)=1sen(x)

Passo 1

O enunciado pede para achar onde a função csc(x)=1sen(x) é diferenciável e calcular sua derivada. O conteúdo envolve derivadas de funções trigonométricas e uso da regra da cadeia (ou do quociente). Vamos lembrar que sen(x)neq0 define o domínio e que podemos reescrever csc(x)=(sin(x))^-1.

Passo 2

Determinar o domínio de diferenciabilidade. Como csc(x)=1/sin(x), a função existe e é diferenciável exatamente quando o denominador não se anula, ou seja,
sin(x)neq0
Portanto o domínio de diferenciabilidade é
,xinRmid sin(x)neq0=,xmid xneq kpi, kinZ

Passo 3

Calcular a derivada usando a regra da cadeia em csc(x)=(sin(x))^-1. Seja u(x)=sin(x). Então
csc(x)=u(x)^-1,
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ddxl(u^-1r)=-1cdot u^-2cdot u'
e como u'(x)=cos(x), temos
csc'(x)=-,u(x)^-2,cos(x)=-cos(x)sin^2(x)
Também se pode escrever
csc'(x)=-csc(x)cot(x)

Resposta

A função csc(x) é diferenciável para todo xneq kpi, kinZ, e sua derivada é
csc'(x)=-cos(x)sin^2(x)l(ou -csc(x)cot(x)r)

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