Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes fun ções:
f(x, y)=e^x / y com y neq 0

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
f(x,y)=e^x/y, yneq0
O conteúdo utilizado será a regra da cadeia (para funções compostas) e a regra do quociente (para derivar x/y).

Passo 2

Calcular fx=partialpartial xe^x/y.
Definindo g(x,y)=x/y, pela regra da cadeia
fx=e^g(x,y)cdot gx
e
gx=partialpartial xl(xyr)=1y
Logo
fx=1y,e^x/y

Passo 3

Calcular fy=partialpartial ye^x/y.
Ainda com g(x,y)=x/y, temos
fy=e^g(x,y)cdot gy
e
gy=partialpartial yl(xyr)=-xy^2
Portanto
fy=-xy^2,e^x/y

Passo 4

Calcular fxx=partialpartial xl(fxr).
Como fx=y^-1e^x/y, pela regra da cadeia em x surge outro fator 1/y:
fxx=1ycdotpartialpartial xl(e^x/yr) =1y,e^x/ycdot1y =1y^2,e^x/y

Passo 5

Calcular fxy=partialpartial yl(fxr).
Temos fx=y^-1e^x/y. Aplicando produto e cadeia em y:
partialpartial yl(1yr)=-1y^2, partialpartial ye^x/y=e^x/ycdotl(-tfracxy^2r)
Logo
fxy =-1y^2e^x/y+1y,e^x/yl(-xy^2r) =-l(1y^2+xy^3r)e^x/y =-x+yy^3,e^x/y

Passo 6

Calcular fyy=partialpartial yl(fyr).
Como fy=-x,y^-2e^x/y, seja A=-x,y^-2 e B=e^x/y. Então
A'=ddyl(-x,y^-2r)=2x,y^-3, B'=e^x/yl(-xy^2r)
Pela regra do produto:
fyy=A'B+AB' =2xy^3e^x/y+ l(-xy^2r)l(-xy^2r)e^x/y =l(2xy^3+x^2y^4r)e^x/y =x(2y+x)y^4,e^x/y

Resposta

fx=1y,e^x/y, fy=-xy^2,e^x/y,
fxx=1y^2,e^x/y, fxy=-x+yy^3,e^x/y, fyy=x(2y+x)y^4,e^x/y

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