Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes fun ções:
f(x, y)=x^y com x neq 0

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
f(x,y)=x^y, xneq0
O conteúdo matemático envolve derivação de uma função da forma x^y=e^yln x, então vamos usar a regra da cadeia junto com as derivadas de e^u e de ln x.

Passo 2

Cálculo das derivadas parciais de primeira ordem.
Para f(x,y)=e^yln x temos
partial fpartial x =partialpartial xl(e^yln xr) =e^yln xcdotpartialpartial x(yln x) =x^ycdotyx =y,x^y-1,
partial fpartial y =partialpartial yl(e^yln xr) =e^yln xcdotpartialpartial y(yln x) =x^ycdotln x

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais de segunda ordem envolvendo derivadas de partial f/partial x.
partial^2 fpartial x^2 =partialpartial xl(y,x^y-1r) =y,(y-1),x^y-2,
partial^2 fpartial ypartial x =partialpartial yl(y,x^y-1r) =x^y-1 + y,x^y-1ln x =x^y-1l(1+yln xr)

Passo 4

Cálculo das derivadas parciais de segunda ordem envolvendo derivadas de partial f/partial y.
partial^2 fpartial xpartial y =partialpartial xl(x^yln xr) =y,x^y-1ln x + x^ycdot1x =x^y-1l(yln x+1r),
partial^2 fpartial y^2 =partialpartial yl(x^yln xr) =x^y(ln x)^2

Resposta

fx=y,x^y-1, fy=x^yln x,
fxx=y(y-1)x^y-2, fxy=x^y-1(1+yln x),
fyx=x^y-1(yln x+1), fyy=x^y(ln x)^2

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