Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes fun ções:
f(x, y)=sin (cos (raiz x y^2)) com x >= 0.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
f(x,y)=sin!l(cos!l(raizx,y^2r)r), x>=0
Para isso vamos usar a regra da cadeia e a regra do produto, vendo a composição
u(x,y)=raizx,y^2, v(u)=cos(u), f=sin(v)

Passo 2

Cálculo de partial f/partial x e partial f/partial y.
Temos
ux=partialpartial xl(raizx,y^2r) =y^22raizx, uy=partialpartial yl(raizx,y^2r) =2yraizx
Pela cadeia,
partial fpartial x =cosl(vr),l(-sin(u)r),ux =-y^22raizx, cos!l(cos(raizxy^2)r), sin(raizxy^2),
partial fpartial y =cosl(vr),l(-sin(u)r),uy =-2yraizx, cos!l(cos(raizxy^2)r), sin(raizxy^2)

Passo 3

Cálculo de partial^2 f/partial x^2.
Derivando fx=-uxcos(v)sin(u) em x e usando uxx=-y^24x^3/2, obtemos
partial^2 fpartial x^2 =y^24x^3/2, cos!l(cos(raizxy^2)r), sin(raizxy^2) -y^44xl[ sin!l(cos(raizxy^2)r), sin^2(raizxy^2) +cos!l(cos(raizxy^2)r), cos(raizxy^2) r]

Passo 4

Cálculo de partial^2 f/(partial y,partial x).
Derivando fx em y e usando uxy=y/raizx, chega-se a
partial^2 fpartial y,partial x =-yraizx, cos!l(cos(raizxy^2)r), sin(raizxy^2) -y^3l[ sin!l(cos(raizxy^2)r), sin^2(raizxy^2) +cos!l(cos(raizxy^2)r), cos(raizxy^2) r]

Passo 5

Cálculo de partial^2 f/partial y^2.
Derivando fy=-uycos(v)sin(u) em y e usando uyy=2raizx, obtemos
partial^2 fpartial y^2 =-2raizx, cos!l(cos(raizxy^2)r), sin(raizxy^2) -4xy^2l[ sin!l(cos(raizxy^2)r), sin^2(raizxy^2) +cos!l(cos(raizxy^2)r), cos(raizxy^2) r]

Resposta

boxed fx&=-y^22raizx, cos!l(cos(raizxy^2)r), sin(raizxy^2), fy&=-2yraizx, cos!l(cos(raizxy^2)r), sin(raizxy^2),[6pt] fxx&=y^24x^3/2, cos!l(cos(raizxy^2)r), sin(raizxy^2) -y^44xl[ sin!l(cos(raizxy^2)r)sin^2(raizxy^2) +cos!l(cos(raizxy^2)r)cos(raizxy^2) r],[4pt] fxy&=-yraizx, cos!l(cos(raizxy^2)r), sin(raizxy^2) -y^3l[ sin!l(cos(raizxy^2)r)sin^2(raizxy^2) +cos!l(cos(raizxy^2)r)cos(raizxy^2) r],[4pt] fyy&=-2raizx, cos!l(cos(raizxy^2)r), sin(raizxy^2) -4xy^2l[ sin!l(cos(raizxy^2)r)sin^2(raizxy^2) +cos!l(cos(raizxy^2)r)cos(raizxy^2) r] ]

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