Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função.
cot (x)=1tan (x)

Passo 1

O enunciado pede onde a função cot(x) é diferenciável e qual é sua derivada. Aqui o conteúdo principal é usar a regra da derivada de função recíproca e a derivada de tan(x).

Passo 2

Para começar, lembramos que
cot(x)=cos(x)sin(x)
é bem definida sempre que sin(x)neq0. Logo o domínio natural de cot(x) é
xinRmid sin(x)neq0=xinRmid xneq kpi,;kinZ

Passo 3

Outra forma útil é escrever
cot(x)=l(tan(x)r)^-1
Para derivar, aplicamos a regra de derivada de u^-1, que é -u'/u^2, tomando u(x)=tan(x). Como
u'(x)=ddxtan(x)=sec^2(x),
temos
ddxcot(x) =-u'(x)u(x)^2 =-sec^2(x)tan^2(x)

Passo 4

Basta agora simplificar
-sec^2(x)tan^2(x) =-1cos^2(x)sin^2(x)cos^2(x) =-1sin^2(x) =-csc^2(x)

Resposta

A função cot(x) é diferenciável em todos os xneq kpi, kinZ, e
ddxcot(x)=-csc^2(x)

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