Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes funções:
f(x, y, z)=\ln (\sqrt{x y z})

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
f(x,y,z)=\ln\bigl(\sqrt{x\,y\,z}\bigr).
O conteúdo envolvido é derivação parcial em funções de várias variáveis, usando a regra da cadeia e propriedades do logaritmo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever f de forma mais simples. Como \sqrt{x\,y\,z}=(x\,y\,z)^{1/2}, temos
f(x,y,z)=\ln\bigl((x\,y\,z)^{1/2}\bigr) =\tfrac12\,\ln(x\,y\,z).
E como \ln(x\,y\,z)=\ln x+\ln y+\ln z, fica
f(x,y,z)=\tfrac12\bigl(\ln x+\ln y+\ln z\bigr).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Sabendo que \frac{d}{dx}\ln x=1/x, obtemos
f_x=\frac{\partial f}{\partial x} =\tfrac12\cdot\frac{1}{x} =\frac{1}{2x}, \quad f_y=\frac{1}{2y}, \quad f_z=\frac{1}{2z}.

Passo 4

Em seguida, derivamos novamente para obter as segundas ordens. Para a derivada de \frac{1}{2x} em relação a x usamos \frac{d}{dx}(x^{-1})=-x^{-2}:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{1}{2x}\Bigr) =-\frac{1}{2x^2}, \quad f_{yy}=-\frac{1}{2y^2}, \quad f_{zz}=-\frac{1}{2z^2}.
As derivadas cruzadas são nulas porque f_x não depende de y nem de z, e de forma análoga para as outras:
f_{xy}=f_{xz}=f_{yz}=0.

Resposta

f_x=\frac{1}{2x},\quad f_y=\frac{1}{2y},\quad f_z=\frac{1}{2z},
f_{xx}=-\frac{1}{2x^2},\quad f_{yy}=-\frac{1}{2y^2},\quad f_{zz}=-\frac{1}{2z^2},
f_{xy}=f_{xz}=f_{yz}=0.

Exercícios relacionados