Considere f(x, y)=x^{2}-y^{2}+3 x-1.
(a) Calcule o gradiente de f no ponto (a, a+1) e encontre a equação da reta perpendicular à curva de nível f(x, y)=a.
(b) Determine todos os pontos nos quais a direção de maior variação da função é (1,1).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}-y^{2}+3x-1
e pede:
(a) o gradiente em (a,a+1) e a reta perpendicular à curva de nível f(x,y)=a;
(b) os pontos onde a direção de maior variação é (1,1).
Para isso precisamos saber que a direção de maior aumento de f em cada ponto é dada pelo vetor gradiente \nabla f, e que a reta normal a uma curva de nível em um ponto usa esse vetor como direção.

Passo 2

Calculamos o gradiente genérico de f pela definição
\nabla f(x,y)=\bigl(\partial_{x}f,\;\partial_{y}f\bigr).
Como
\partial_{x}f=2x+3, \quad \partial_{y}f=-2y,
segue
\nabla f(x,y)=\bigl(2x+3,\;-2y\bigr).

Passo 3

Em (x,y)=(a,a+1) temos
\nabla f(a,a+1)=\bigl(2a+3,\;-2(a+1)\bigr) =\bigl(2a+3,\;-2a-2\bigr).

Passo 4

A reta perpendicular à curva de nível f(x,y)=a em (a,a+1) tem direção igual a \nabla f(a,a+1). Logo, uma forma paramétrica é
(x,y) = (a,a+1)+t\,\bigl(2a+3,\,-2a-2\bigr),\quad t\in\mathbb{R}.
Em forma cartesiana isolando y:
y-(a+1)=\frac{-2a-2}{2a+3}\,(x-a).

Passo 5

A direção de maior variação em um ponto (x,y) é paralela a \bigl(2x+3,\,-2y\bigr). Para que isso seja paralelo a (1,1) basta exigir
(2x+3,\,-2y)=\lambda\,(1,1)
para algum escalar \lambda. Das componentes vem
2x+3=\lambda, \quad -2y=\lambda
e portanto
2x+3=-2y \quad\Longrightarrow\quad 2x+2y+3=0.
Assim todos os (x,y) sobre essa reta satisfazem a condição de paralelismo.

Resposta

(a) \displaystyle \nabla f(a,a+1)=(2a+3,\,-2a-2).
A reta perpendicular à curva de nível f(x,y)=a em (a,a+1) pode ser escrita como
(x,y)=(a,a+1)+t\,(2a+3,\,-2a-2),
ou ainda
y-(a+1)=\frac{-2a-2}{2a+3}(x-a).
(b) Os pontos onde a direção de maior variação é (1,1) são todos os (x,y) que satisfazem
2x+2y+3=0.

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