Considere
.
(a) Calcule o gradiente de
no ponto
e encontre a equação da reta perpendicular à curva de nível
.
(b) Determine todos os pontos nos quais a direção de maior variação da função é
.
(a) Calcule o gradiente de
(b) Determine todos os pontos nos quais a direção de maior variação da função é
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
(a) o gradiente em e a reta perpendicular à curva de nível
;
(b) os pontos onde a direção de maior variação é .
Para isso precisamos saber que a direção de maior aumento de em cada ponto é dada pelo vetor gradiente
, e que a reta normal a uma curva de nível em um ponto usa esse vetor como direção.
(a) o gradiente em
(b) os pontos onde a direção de maior variação é
Para isso precisamos saber que a direção de maior aumento de
Passo 2
Calculamos o gradiente genérico de
pela definição
Como
segue
Passo 3
Em
temos
Passo 4
A reta perpendicular à curva de nível
em
tem direção igual a
. Logo, uma forma paramétrica é
Em forma cartesiana isolando
:
Passo 5
A direção de maior variação em um ponto
é paralela a
. Para que isso seja paralelo a
basta exigir
para algum escalar
. Das componentes vem
e portanto
Assim todos os
sobre essa reta satisfazem a condição de paralelismo.
Resposta
(a)
.
A reta perpendicular à curva de nível em
pode ser escrita como
A reta perpendicular à curva de nível
ou ainda
(b) Os pontos onde a direção de maior variação é
são todos os
que satisfazem