Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes funções:
f(x, y)=\frac{x+y}{y^{2}-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
f(x,y)=\frac{x+y}{y^{2}-x^{2}}.
O conteúdo é Cálculo de Funções de Duas Variáveis e vamos usar a regra do quociente e as regras de diferenciação parcial sucessivamente.

Passo 2

Para \displaystyle f_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl((x+y)/(y^{2}-x^{2})\bigr), use a regra do quociente com
u(x,y)=x+y,\quad v(x,y)=y^{2}-x^{2}.
Então u_{x}=1 e v_{x}=-2x. Logo,
f_{x} =\frac{u_{x}\,v - u\,v_{x}}{v^{2}} =\frac{1\cdot(y^{2}-x^{2}) - (x+y)\,(-2x)}{(y^{2}-x^{2})^{2}} =\frac{y^{2}-x^{2}+2x(x+y)}{(y^{2}-x^{2})^{2}} =\frac{(x+y)^{2}}{(y^{2}-x^{2})^{2}}.

Passo 3

Para \displaystyle f_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl((x+y)/(y^{2}-x^{2})\bigr), temos u_{y}=1 e v_{y}=2y. Logo,
f_{y} =\frac{1\cdot(y^{2}-x^{2}) - (x+y)\,2y}{(y^{2}-x^{2})^{2}} =\frac{y^{2}-x^{2}-2y(x+y)}{(y^{2}-x^{2})^{2}} =-\frac{(x+y)^{2}}{(y^{2}-x^{2})^{2}}.

Passo 4

Para \displaystyle f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(f_{x}\bigr), escrevemos
f_{x}=(x+y)^{2}\,(y^{2}-x^{2})^{-2}
e aplicamos produto e cadeia. O resultado é
f_{xx} =2\,(x+y)\,(y^{2}-x^{2})^{-2} + (x+y)^{2}\,4x\,(y^{2}-x^{2})^{-3} =\frac{2(x+y)\bigl[(y^{2}-x^{2})+2x(x+y)\bigr]}{(y^{2}-x^{2})^{3}} =\frac{2\,(x+y)^{3}}{(y^{2}-x^{2})^{3}}.

Passo 5

Para \displaystyle f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(f_{x}\bigr), diferenciando
f_{x}=(x+y)^{2}\,(y^{2}-x^{2})^{-2}
em relação a y, obtemos
f_{xy} =\frac{-2\,(x+y)^{3}}{(y^{2}-x^{2})^{3}}.
Pode-se verificar por troca de ordem que f_{yx}=f_{xy}, isto é,
f_{yx} =-\frac{2\,(x+y)^{3}}{(y^{2}-x^{2})^{3}}.

Passo 6

Para \displaystyle f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(f_{y}\bigr), escrevemos
f_{y}=-(x+y)^{2}\,(y^{2}-x^{2})^{-2}
e diferenciamos em relação a y. O resultado é
f_{yy} =\frac{2\,(x+y)^{3}}{(y^{2}-x^{2})^{3}}.

Resposta

f_{x}=\frac{(x+y)^{2}}{(y^{2}-x^{2})^{2}},\quad f_{y}=-\frac{(x+y)^{2}}{(y^{2}-x^{2})^{2}},
f_{xx}=\frac{2\,(x+y)^{3}}{(y^{2}-x^{2})^{3}},\quad f_{xy}=f_{yx}=-\frac{2\,(x+y)^{3}}{(y^{2}-x^{2})^{3}},\quad f_{yy}=\frac{2\,(x+y)^{3}}{(y^{2}-x^{2})^{3}}.

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