Calcule as derivadas parciais primeiras de f.
f(x, y, z)=x^2+2 y^2x^2 cos ^2 3 y z

Passo 1

Começamos resumindo o enunciado: precisamos achar as derivadas parciais primeiras de f(x,y,z)=x^2+2y^2x^2cos^2(3yz). O assunto é derivadas parciais de função de três variáveis e vamos usar a regra do quociente e a regra da cadeia para derivar a parte cos^2(3yz).

Passo 2

Definimos as funções do numerador e denominador para aplicar a regra do quociente. Seja
u(x,y,z)=x^2+2y^2,
v(x,y,z)=x^2cos^2(3yz)

Passo 3

Para calcular fx, aplicamos a regra do quociente:
partialpartial xl(uvr)=ux,v - u,vxv^2

Passo 4

Agora achamos cada derivada parcial em relação a x:
ux=2x,
vx=partialpartial xl(x^2cos^2(3yz)r)=2xcos^2(3yz)

Passo 5

Substituindo em fx e simplificando:
fx=2xcdot x^2cos^2(3yz)-(x^2+2y^2)cdot2xcos^2(3yz)x^4cos^4(3yz) =-4y^2x^3cos^2(3yz)

Passo 6

Para fy, usamos de novo a regra do quociente e a cadeia em v. Primeiro:
uy=4y,
vy=partialpartial yl(x^2cos^2(3yz)r) =x^2cdot2cos(3yz)l(-sin(3yz)r)cdot3z =-6x^2zsin(3yz)cos(3yz)

Passo 7

Aplicando a regra do quociente e simplificando:
fy=4y,x^2cos^2(3yz)-(x^2+2y^2)(-6x^2zsin(3yz)cos(3yz))x^4cos^4(3yz) =2l(2ycos(3yz)+3z(x^2+2y^2)sin(3yz)r)x^2cos^3(3yz)

Passo 8

Para fz, observe que uz=0 e usamos a derivada de v em relação a z:
vz=partialpartial zl(x^2cos^2(3yz)r) =x^2cdot2cos(3yz)l(-sin(3yz)r)cdot3y =-6x^2ysin(3yz)cos(3yz)

Passo 9

Logo, pela regra do quociente:
fz=0cdot v-(x^2+2y^2),vzv^2 =6y(x^2+2y^2)sin(3yz)cos(3yz)x^2cos^4(3yz) =6y(x^2+2y^2)sin(3yz)x^2cos^3(3yz)

Resposta

fx=-dfrac4y^2x^3cos^2(3yz), fy=dfrac2l(2ycos(3yz)+3z(x^2+2y^2)sin(3yz)r)x^2cos^3(3yz), fz=dfrac6y(x^2+2y^2)sin(3yz)x^2cos^3(3yz)

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