Determine os extremos locais e pontos de sela de
, se existir:
Passo 1
O enunciado pede para achar extremos locais e pontos de sela de uma função quadrática de duas variáveis, então vamos precisar usar a condição de ponto crítico (gradiente igual a zero) e analisar a matriz Hessiana para classificação.
Passo 2
Vamos calcular o gradiente de f:
O gradiente é o vetor das derivadas parciais, ou seja,
.
Calculando cada componente temos f_x = 2x - 6y + 3 e f_y = -6x + 18y.
O gradiente é o vetor das derivadas parciais, ou seja,
Calculando cada componente temos f_x = 2x - 6y + 3 e f_y = -6x + 18y.
Passo 3
Para encontrar pontos críticos, igualamos o gradiente a zero e resolvemos o sistema:
Da segunda equação vem x = 3y. Substituindo na primeira: 2(3y) - 6y + 3 = 0 ⇒ 6y - 6y + 3 = 0 ⇒ 3 = 0, que não tem solução.
Passo 4
Como não há solução para o sistema gradiente = zero, concluímos que não existem pontos críticos. Mesmo se quiséssemos classificar, a Hessiana seria
com determinante igual a 0, mostrando degenerescência. Mas isso é irrelevante pois já não temos ponto crítico.
Passo 5
Portanto, não há extremos locais nem pontos de sela para esta função.
Resposta
Não existem pontos críticos e, consequentemente, não há extremos locais nem pontos de sela.