Determine os extremos locais e pontos de sela de f, se existir:
f(x, y)=x^2-6 x y+9 y^2+3 x-10

Passo 1

O enunciado pede para achar extremos locais e pontos de sela de uma função quadrática de duas variáveis, então vamos precisar usar a condição de ponto crítico (gradiente igual a zero) e analisar a matriz Hessiana para classificação.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de f:
O gradiente é o vetor das derivadas parciais, ou seja,
nabla f(x,y) = (fx, fy).
Calculando cada componente temos f_x = 2x - 6y + 3 e f_y = -6x + 18y.

Passo 3

Para encontrar pontos críticos, igualamos o gradiente a zero e resolvemos o sistema:
2x - 6y + 3 = 0-6x + 18y = 0
Da segunda equação vem x = 3y. Substituindo na primeira: 2(3y) - 6y + 3 = 0 ⇒ 6y - 6y + 3 = 0 ⇒ 3 = 0, que não tem solução.

Passo 4

Como não há solução para o sistema gradiente = zero, concluímos que não existem pontos críticos. Mesmo se quiséssemos classificar, a Hessiana seria
Hf(x,y) = 2 & -6-6 & 18
com determinante igual a 0, mostrando degenerescência. Mas isso é irrelevante pois já não temos ponto crítico.

Passo 5

Portanto, não há extremos locais nem pontos de sela para esta função.

Resposta

Não existem pontos críticos e, consequentemente, não há extremos locais nem pontos de sela.

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