Calcule as derivadas parciais segundas da seguinte função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais segundas da função $ f(x, y, z) = x^{2} e{y{2} - z^{2}} $. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a cada variável: $ x $, $ y $ e $ z $. Isso significa que vamos derivar a função em relação a uma variável enquanto mantemos as outras constantes.
Passo 3
Vamos começar derivando em relação a $ x $:
Aqui, usamos a regra do produto porque temos uma multiplicação de $ x^{2} $ e $ e{y{2} - z^{2}} $. A derivada de $ x^{2} $ em relação a $ x $ é $ 2x $, e a derivada de $ e{y{2} - z^{2}} $ em relação a $ x $ é zero, já que não há $ x $ na segunda parte.
Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar $ f_x $ novamente em relação a $ x $ para achar a segunda derivada parcial em relação a $ x $:
Aqui, novamente usamos a regra do produto. A derivada de $ 2x $ em relação a $ x $ é $ 2 $, e a derivada de $ e{y{2} - z^{2}} $ em relação a $ x $ é zero.
Então:
Passo 5
Agora, vamos derivar em relação a $ y $:
Aqui, $ x^{2} $ é uma constante em relação a $ y $, então podemos manter $ x^{2} $ fora da derivada:
Para derivar $ e{y{2} - z^{2}} $ em relação a $ y $, usamos a regra da cadeia. A derivada do expoente $ y^{2} - z^{2} $ em relação a $ y $ é $ 2y $, então:
Passo 6
Agora, vamos derivar $ f_y $ novamente em relação a $ y $ para achar a segunda derivada parcial em relação a $ y $:
Aqui, usamos novamente a regra do produto. Primeiro, derivamos $ 2x^{2} y $ em relação a $ y $, que dá $ 2x^{2} $, e depois multiplicamos pela outra parte $ e{y{2} - z^{2}} $. Depois, somamos isso à derivada de $ e{y{2} - z^{2}} $ em relação a $ y $ vezes $ 2x^{2} y $.
Então:
Passo 7
Por último, vamos derivar em relação a $ z $:
Novamente, $ x^{2} $ é constante em relação a $ z $:
Usando a regra da cadeia, a derivada do expoente $ y^{2} - z^{2} $ em relação a $ z $ é $ -2z $, então:
Resposta
As derivadas parciais segundas da função $ f(x, y, z) = x^{2} e{y{2} - z^{2}} $ são: