Calcule as derivadas parciais primeiras de f.
f(x, y)=x^3 e^-2 y+y^-2 cos 3 y^2

Passo 1

Estamos com a função f(x,y)=x^3e^-2y+y^-2cos(3y^2) e queremos encontrar as derivadas parciais primeiras. O conteúdo usado aqui é derivada parcial, aplicando regra do produto, regra da cadeia e regra de potência.

Passo 2

Para obter partial fpartial x, note que o segundo termo não depende de x. Então basta derivar x^3e^-2y em relação a x:
partialpartial xl(x^3e^-2yr)=3x^2e^-2y
Logo, partial fpartial x=3x^2e^-2y

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, derivamos cada termo em y:
  1. No termo x^3e^-2y, usamos regra da cadeia:
partialpartial yl(x^3e^-2yr)=x^3cdot(-2)e^-2y=-2x^3e^-2y
  1. No termo y^-2cos(3y^2), aplicamos regra do produto: seja u=y^-2 e v=cos(3y^2). Então
u'= -2y^-3, v'= -sin(3y^2)cdot 6y = -6ysin(3y^2)
Logo
partialpartial yl(y^-2cos(3y^2)r)=u'v+uv'=-2y^-3cos(3y^2)-6y^-1sin(3y^2)
Somando os dois resultados, temos
partial fpartial y=-2x^3e^-2y-2y^-3cos(3y^2)-6y^-1sin(3y^2)

Resposta

partial fpartial x=3x^2e^-2y,partial fpartial y=-2x^3e^-2y-2y^-3cos(3y^2)-6y^-1sin(3y^2)

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