Encontre o volume das quádricas abaixo, encarando-as como superfícies de revolução.
Cone z=raizx^2+y^2 com altura h.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela revolução do perfil dado por z=√(x²+y²) em torno do eixo z, limitado entre z=0 e z=h. O conteúdo é volume por método de sólidos de revolução (discos) ou por coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Vamos usar o método dos discos: imaginamos fatias horizontais do cone a uma altura z fixa. Cada fatia é um disco de raio igual à coordenada r satisfazendo z= r, ou seja, r(z)=z.

Passo 3

A área de cada disco a uma altura z é dada por A(z)=π [r(z)]²=π z².

Passo 4

O volume total é a soma (integral) dessas áreas ao longo de z de 0 até h:
V=integral0^hA(z),dz=integral0^hpi z^2,dz

Passo 5

Basta calcular a integral:
V=pi integral0^hz^2,dz=pi l[z^33r]0^h=pi h^33

Resposta

V=pi h^33.

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