Encontre o volume das quádricas abaixo, encarando-as como superfícies de revolução.
Cone
com altura
.
Cone
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela revolução do perfil dado por z=√(x²+y²) em torno do eixo z, limitado entre z=0 e z=h. O conteúdo é volume por método de sólidos de revolução (discos) ou por coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Vamos usar o método dos discos: imaginamos fatias horizontais do cone a uma altura z fixa. Cada fatia é um disco de raio igual à coordenada r satisfazendo z= r, ou seja, r(z)=z.
Passo 3
A área de cada disco a uma altura z é dada por A(z)=π [r(z)]²=π z².
Passo 4
O volume total é a soma (integral) dessas áreas ao longo de z de 0 até h:
Passo 5
Basta calcular a integral: