Calcule as derivadas parciais de z em relação a u, v (e w ) nos pontos especificados:
z=x^3+x y^3, onde x=u v^2+w^3, y=u+v e^w, para u=2, v=1, w=0

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais partial zpartial u, partial zpartial v e partial zpartial w da função
z = x^3 + x y^3,
onde
x = u v^2 + w^3, y = u + v e^w,
avaliadas no ponto (u,v,w)=(2,1,0). O conteúdo principal é a aplicação da regra da cadeia em várias variáveis.

Passo 2

Para começar, derivamos z em relação a x e y, tratando as outras variáveis como constantes. Assim, temos
partial zpartial x = 3x^2 + y^3, partial zpartial y = 3xy^2

Passo 3

Depois, calculamos as derivadas parciais de x e y em relação a u, v e w:
partial xpartial u = v^2, partial xpartial v = 2uv, partial xpartial w = 3w^2,
partial ypartial u = 1, partial ypartial v = e^w, partial ypartial w = v e^w

Passo 4

Agora, avaliamos x e y no ponto (u,v,w)=(2,1,0):
x = 2cdot1^2 + 0^3 = 2, y = 2 + 1cdot e^0 = 3

Passo 5

Com esses valores, substituímos em partial zpartial x e partial zpartial y:
partial zpartial x = 3cdot2^2 + 3^3 = 39, partial zpartial y = 3cdot2cdot3^2 = 54

Passo 6

Também avaliamos as derivadas de x e y no ponto:
partial xpartial u = 1, partial xpartial v = 4, partial xpartial w = 0,
partial ypartial u = 1, partial ypartial v = 1, partial ypartial w = 1

Passo 7

Por fim, aplicamos a regra da cadeia e substituímos todos os valores encontrados:
partial zpartial u = 39cdot1 + 54cdot1 = 93, partial zpartial v = 39cdot4 + 54cdot1 = 210, partial zpartial w = 39cdot0 + 54cdot1 = 54

Resposta

partial zpartial u=93,partial zpartial v=210,partial zpartial w=54

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