Calcule as derivadas parciais em relação a x e y.
f(x, y)=5 \operatorname{sen}\left(x^{2} y\right)+7 x \operatorname{cosh} (x y+3 \cos x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de f em relação a x e a y. A função dada é
f(x,y)=5\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr)+7x\operatorname{cosh}\!\bigl(xy+3\cos x\bigr).
Informações relevantes que temos:
  • Queremos \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • As operações envolvidas são seno ( \sin), cosseno hiperbólico ( \operatorname{cosh}), produto por x, e composição de funções (por exemplo \sin(x^{2}y) e \operatorname{cosh}(xy+3\cos x)).

Passo 2

O que é derivada parcial (recap rápido e prático):
  • A derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x} é a taxa de variação de f quando x varia e y é mantido constante.
  • A derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial y} é a taxa de variação de f quando y varia e x é mantido constante.
Exemplo pequeno para fixar a ideia: para g(x,y)=x^{2}y,
\frac{\partial g}{\partial x}=2x y\quad\text{(tratando \(y\) como constante)}, \qquad \frac{\partial g}{\partial y}=x^{2}\quad\text{(tratando \(x\) como constante)}.

Passo 3

Regras de derivação que vamos usar (lembretes práticos):
  • Regra da cadeia: se h(t)=\sin(u(t)), então h'(t)=\cos(u(t))\cdot u'(t). De forma análoga para \operatorname{cosh}: \dfrac{d}{dt}\operatorname{cosh}(u(t))=\operatorname{sinh}(u(t))\cdot u'(t).
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Derivadas básicas: \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x, \dfrac{d}{dx}x=1.
    Aplicando essas regras com a ideia de “parcial”: ao derivar em relação a x tratamos y como constante; ao derivar em relação a y tratamos x como constante.

Passo 4

Derivada parcial em relação a x — primeira parcela.
Considere a parcela 5\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr). É uma composição do tipo \sin(u) com u(x,y)=x^{2}y.
  • Primeiro calcule u_x=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y\bigr)=2x y (porque y é tratado como constante).
  • Usando a regra da cadeia:
\text{derivada da parcela} =5\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr)\cdot u_x =5\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr)\cdot(2x y).
Portanto essa contribuição é 10x y\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr).

Passo 5

Derivada parcial em relação a x — segunda parcela.
Considere 7x\operatorname{cosh}\!\bigl(xy+3\cos x\bigr). Aqui há um produto entre 7x e \operatorname{cosh}(u) com u(x,y)=xy+3\cos x.
Aplicando a regra do produto:
  • Derivada de 7x em relação a x é 7.
  • Derivada de \operatorname{cosh}(u) em relação a x é \operatorname{sinh}(u)\cdot u_x.
    Calcule u_x=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(xy+3\cos x\bigr)=y+3\cdot(-\sin x)=y-3\sin x.
    Logo, a derivada da segunda parcela é
7\operatorname{cosh}\!\bigl(xy+3\cos x\bigr)+7x\cdot\operatorname{sinh}\!\bigl(xy+3\cos x\bigr)\cdot\bigl(y-3\sin x\bigr).

Passo 6

Resumo parcial para \dfrac{\partial f}{\partial x}:
  • Soma das contribuições dos Passos 4 e 5 (não repetir a linha final aqui por enquanto; a montagem final das duas partes será apresentada na seção de resposta).

Passo 7

Derivada parcial em relação a y — primeira parcela.
Para 5\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr), agora x é tratado como constante. Com u(x,y)=x^{2}y:
  • u_y=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=x^{2}.
  • Pela regra da cadeia:
\text{derivada da parcela} =5\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr)\cdot x^{2}.
Portanto essa contribuição é 5x^{2}\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr).

Passo 8

Derivada parcial em relação a y — segunda parcela.
Para 7x\operatorname{cosh}\!\bigl(xy+3\cos x\bigr):
  • Como estamos derivando em relação a y, tratamos x como constante. O fator 7x é constante multiplicativo.
  • Seja u(x,y)=xy+3\cos x. Então u_y=\dfrac{\partial}{\partial y}(xy+3\cos x)=x (pois \cos x não depende de y).
  • Aplicando a regra da cadeia:
\text{derivada da parcela} =7x\cdot\operatorname{sinh}\!\bigl(xy+3\cos x\bigr)\cdot x =7x^{2}\operatorname{sinh}\!\bigl(xy+3\cos x\bigr).

Passo 9

Resumo parcial para \dfrac{\partial f}{\partial y}:
  • Soma das contribuições dos Passos 7 e 8 (a montagem final estará na seção de resposta).

Passo 10

Dicas rápidas para a prova (motivação e checagem):
  • Sempre identifique a “parte externa” e a “parte interna” para usar a regra da cadeia com calma.
  • Separe termos (soma) e trate cada um independentemente; some no final.
  • Verifique sinais (por exemplo o -3\sin x vem da derivada de 3\cos x).
  • Se ficar em dúvida, faça derivadas parciais de blocos simples antes de combinar.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=10x y\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr)+7\operatorname{cosh}\!\bigl(xy+3\cos x\bigr)+7x\operatorname{sinh}\!\bigl(xy+3\cos x\bigr)\bigl(y-3\sin x\bigr)
\dfrac{\partial f}{\partial y}=5x^{2}\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr)+7x^{2}\operatorname{sinh}\!\bigl(xy+3\cos x\bigr)

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