Calcule as derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
. A função dada é
Informações relevantes que temos:
- Queremos
e . - As operações envolvidas são seno (
), cosseno hiperbólico ( ), produto por , e composição de funções (por exemplo e ).
Passo 2
O que é derivada parcial (recap rápido e prático):
- A derivada parcial
é a taxa de variação de quando varia e é mantido constante. - A derivada parcial
é a taxa de variação de quando varia e é mantido constante.
Exemplo pequeno para fixar a ideia: para
,
Passo 3
Regras de derivação que vamos usar (lembretes práticos):
- Regra da cadeia: se
, então . De forma análoga para : . - Regra do produto:
. - Derivadas básicas:
, .
Aplicando essas regras com a ideia de “parcial”: ao derivar em relação atratamos como constante; ao derivar em relação a tratamos como constante.
Passo 4
Derivada parcial em relação a
— primeira parcela.
Considere a parcela . É uma composição do tipo
com
.
Considere a parcela
- Primeiro calcule
(porque é tratado como constante). - Usando a regra da cadeia:
Portanto essa contribuição é
.
Passo 5
Derivada parcial em relação a
— segunda parcela.
Considere . Aqui há um produto entre
e
com
.
Aplicando a regra do produto:
Considere
Aplicando a regra do produto:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Calcule.
Logo, a derivada da segunda parcela é
Passo 6
Resumo parcial para
:
- Soma das contribuições dos Passos 4 e 5 (não repetir a linha final aqui por enquanto; a montagem final das duas partes será apresentada na seção de resposta).
Passo 7
Derivada parcial em relação a
— primeira parcela.
Para , agora
é tratado como constante. Com
:
Para
-
. - Pela regra da cadeia:
Portanto essa contribuição é
.
Passo 8
Derivada parcial em relação a
— segunda parcela.
Para :
Para
- Como estamos derivando em relação a
, tratamos como constante. O fator é constante multiplicativo. - Seja
. Então (pois não depende de ). - Aplicando a regra da cadeia:
Passo 9
Resumo parcial para
:
- Soma das contribuições dos Passos 7 e 8 (a montagem final estará na seção de resposta).
Passo 10
Dicas rápidas para a prova (motivação e checagem):
- Sempre identifique a “parte externa” e a “parte interna” para usar a regra da cadeia com calma.
- Separe termos (soma) e trate cada um independentemente; some no final.
- Verifique sinais (por exemplo o
vem da derivada de ). - Se ficar em dúvida, faça derivadas parciais de blocos simples antes de combinar.