Calcule as derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Precisamos de
, e .
Passo 2
Plano de ataque (sem ainda entrar nas contas): vamos usar a regra do quociente para derivadas parciais porque
é um quociente de duas funções (numerador e denominador). Para obter as derivadas das partes, usaremos a regra da cadeia:
- Regra do quociente (para funções de várias variáveis, aplicada em cada parcial): se
então
Mesma fórmula para as outras variáveis.
- Regra da cadeia: para
,
porque
. Para
,
porque
.
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Derivadas parciais do numerador
.
Defina
. Então
.
Explicando a regra da cadeia aplicada aqui:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada parcial de
em relação às variáveis é simples porque é um produto.
Calculemos:
Portanto, pela regra da cadeia,
Observação didática curta: a forma
vem de
. Sempre que tiver
, derive o “algo” e multiplique por
.
Passo 4
Derivadas parciais do denominador
.
Defina
. Então
.
Pela regra da cadeia:
Calcule as derivadas parciais de
:
Logo
Observação didática curta: derivada de
é
vezes a derivada do interior.
Passo 5
Agora aplico a regra do quociente para
.
A fórmula é
Substituindo
,
, as derivadas encontradas nos passos anteriores:
Se quiser, pode escrever de forma levemente fatorada:
Passo 6
Agora
. Mesma fórmula do quociente:
Substituindo:
Note o sinal duplo:
, portanto o termo fica com
. Assim podemos reescrever:
Passo 7
Finalmente
. A derivada do denominador em relação a
é zero (vimos
), então a regra do quociente dá:
Simplificando um fator de
no numerador e denominador:
Ou seja
Passo 8
Dicas rápidas para a prova (curtas e amigas):
- Identifique sempre o numerador
e o denominador . Calcule variável e variável separadamente. - Lembre-se:
e . - Se o denominador não depende da variável (como em
aqui), o termo some e a expressão fica bem mais simples. - Se souber, às vezes é agradável reescrever com
e (por exemplo, ), mas não é necessário — no exame prefira a forma que seja mais clara para você.
Força! Você conseguiu chegar até aqui — se repetir esse roteiro passo a passo em outros exercícios semelhantes, fica bem rápido.