Calcule as derivadas parciais em relação a x, y e z.
f(x, y, z)=\frac{\arctan (x z y)}{\operatorname{sen}\left(4 x^{2}-y^{2}\right)}\

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=\frac{\arctan(xyz)}{\sin\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr)}
e pede para calcular as derivadas parciais de f em relação a x, y e z.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O numerador é \arctan(xyz).
  • O denominador é \sin(4x^{2}-y^{2}).
  • Precisamos de \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial f}{\partial z}.

Passo 2

Plano de ataque (sem ainda entrar nas contas): vamos usar a regra do quociente para derivadas parciais porque f é um quociente de duas funções (numerador e denominador). Para obter as derivadas das partes, usaremos a regra da cadeia:
  • Regra do quociente (para funções de várias variáveis, aplicada em cada parcial): se f=\dfrac{N}{D} então
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\frac{\partial N}{\partial x}\,D - N\,\frac{\partial D}{\partial x}}{D^{2}}.
Mesma fórmula para as outras variáveis.
  • Regra da cadeia: para N=\arctan(u(x,y,z)),
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{\partial u}{\partial x},
porque \dfrac{d}{du}\bigl(\arctan u\bigr)=\dfrac{1}{1+u^{2}}. Para D=\sin(v(x,y,z)),
\frac{\partial D}{\partial x}=\cos(v)\cdot\frac{\partial v}{\partial x},
porque \dfrac{d}{dv}(\sin v)=\cos v.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Derivadas parciais do numerador N(x,y,z)=\arctan(xyz).
Defina u(x,y,z)=xyz. Então N=\arctan(u).
Explicando a regra da cadeia aplicada aqui:
  • A derivada de \arctan(u) em relação a u é \dfrac{1}{1+u^{2}}.
  • A derivada parcial de u=xyz em relação às variáveis é simples porque u é um produto.
Calculemos:
\frac{\partial u}{\partial x}=yz,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=xz,\qquad \frac{\partial u}{\partial z}=xy.
Portanto, pela regra da cadeia,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{yz}{1+(xyz)^{2}}, \qquad \frac{\partial N}{\partial y}=\frac{xz}{1+(xyz)^{2}}, \qquad \frac{\partial N}{\partial z}=\frac{xy}{1+(xyz)^{2}}.
Observação didática curta: a forma \dfrac{1}{1+u^{2}} vem de \dfrac{d}{du}\arctan u. Sempre que tiver \arctan(\text{algo}), derive o “algo” e multiplique por \dfrac{1}{1+(\text{algo})^{2}}.

Passo 4

Derivadas parciais do denominador D(x,y,z)=\sin(4x^{2}-y^{2}).
Defina v(x,y,z)=4x^{2}-y^{2}. Então D=\sin(v).
Pela regra da cadeia:
\frac{\partial D}{\partial x}=\cos(v)\cdot\frac{\partial v}{\partial x},\qquad \frac{\partial D}{\partial y}=\cos(v)\cdot\frac{\partial v}{\partial y},\qquad \frac{\partial D}{\partial z}=\cos(v)\cdot\frac{\partial v}{\partial z}.
Calcule as derivadas parciais de v:
\frac{\partial v}{\partial x}=8x,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=-2y,\qquad \frac{\partial v}{\partial z}=0.
Logo
\frac{\partial D}{\partial x}=8x\cos\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr), \qquad \frac{\partial D}{\partial y}=-2y\cos\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr), \qquad \frac{\partial D}{\partial z}=0.
Observação didática curta: derivada de \sin(\cdot) é \cos(\cdot) vezes a derivada do interior.

Passo 5

Agora aplico a regra do quociente para \dfrac{\partial f}{\partial x}.
A fórmula é
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\dfrac{\partial N}{\partial x}\,D - N\,\dfrac{\partial D}{\partial x}}{D^{2}}.
Substituindo N=\arctan(xyz), D=\sin(4x^{2}-y^{2}), as derivadas encontradas nos passos anteriores:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\dfrac{yz}{1+(xyz)^{2}}\;\sin\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr) -\arctan(xyz)\;8x\cos\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr)} {\sin^{2}\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr)}.
Se quiser, pode escrever de forma levemente fatorada:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{\sin^{2}\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr)} \left( \frac{yz}{1+(xyz)^{2}}\sin\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr) -8x\,\arctan(xyz)\cos\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr) \right).

Passo 6

Agora \dfrac{\partial f}{\partial y}. Mesma fórmula do quociente:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\dfrac{\partial N}{\partial y}\,D - N\,\dfrac{\partial D}{\partial y}}{D^{2}}.
Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\dfrac{xz}{1+(xyz)^{2}}\;\sin\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr) -\arctan(xyz)\;(-2y)\cos\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr)} {\sin^{2}\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr)}.
Note o sinal duplo: \dfrac{\partial D}{\partial y}=-2y\cos(\cdot), portanto o termo fica com -N\cdot(-2y\cos)=+2yN\cos. Assim podemos reescrever:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{\sin^{2}\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr)} \left( \frac{xz}{1+(xyz)^{2}}\sin\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr) +2y\,\arctan(xyz)\cos\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr) \right).

Passo 7

Finalmente \dfrac{\partial f}{\partial z}. A derivada do denominador em relação a z é zero (vimos \dfrac{\partial D}{\partial z}=0), então a regra do quociente dá:
\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{\dfrac{\partial N}{\partial z}\,D - N\cdot 0}{D^{2}} =\frac{\dfrac{xy}{1+(xyz)^{2}}\;\sin\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr)}{\sin^{2}\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr)}.
Simplificando um fator de \sin no numerador e denominador:
\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{xy}{1+(xyz)^{2}}\cdot\frac{1}{\sin\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr)}.
Ou seja
\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{xy}{\bigl(1+(xyz)^{2}\bigr)\,\sin\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr)}.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (curtas e amigas):
  • Identifique sempre o numerador N e o denominador D. Calcule \partial N/\partialvariável e \partial D/\partialvariável separadamente.
  • Lembre-se: \dfrac{d}{du}\arctan u=\dfrac{1}{1+u^{2}} e \dfrac{d}{dv}\sin v=\cos v.
  • Se o denominador não depende da variável (como em z aqui), o termo N\cdot D_z some e a expressão fica bem mais simples.
  • Se souber, às vezes é agradável reescrever com \csc e \cot (por exemplo, 1/\sin = \csc), mas não é necessário — no exame prefira a forma que seja mais clara para você.
Força! Você conseguiu chegar até aqui — se repetir esse roteiro passo a passo em outros exercícios semelhantes, fica bem rápido.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\dfrac{yz}{1+(xyz)^{2}}\;\sin\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr) -8x\,\arctan(xyz)\cos\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr)} {\sin^{2}\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr)}
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\dfrac{xz}{1+(xyz)^{2}}\;\sin\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr) +2y\,\arctan(xyz)\cos\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr)} {\sin^{2}\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr)}
\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{xy}{\bigl(1+(xyz)^{2}\bigr)\,\sin\bigl(4x^{2}-y^{2}\bigr)}

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