Calcule as derivadas parciais em relação a x e y.
f(x, y)=y\left(x \operatorname{sen}(x)+x^{2}\right)^{3}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular as derivadas parciais de f(x,y) em relação a x e a y.
Informações dadas:
f(x,y)=y\bigl(x\operatorname{sen}(x)+x^{2}\bigr)^{3}.
Observação útil (pegar do enunciado): a função é produto de y por \bigl(x\operatorname{sen}(x)+x^{2}\bigr)^{3}.

Passo 2

Conceitos e regras que vamos usar (explicadinhos):
  • A derivada parcial de f em relação a x, denotada \dfrac{\partial f}{\partial x}, é a derivada de f quando variamos x e mantemos y fixo (ou constante).
  • A derivada parcial de f em relação a y, denotada \dfrac{\partial f}{\partial y}, é a derivada de f quando variamos y e mantemos x fixo.
  • Regras que vamos aplicar:
    • Regra do produto (para funções de uma variável, aplicada aqui mantendo a outra variável constante): se F(t)=u(t)\,v(t) então F'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
    • Regra da cadeia: se F(t)=(g(t))^{3} então F'(t)=3(g(t))^{2}\,g'(t).
      No nosso caso, ao calcular \dfrac{\partial}{\partial x} tratamos y como constante; ao calcular \dfrac{\partial}{\partial y} tratamos x como constante.

Passo 3

Preparação: identifiquemos a parte que depende de x e a parte que depende de y.
Defina
h(x)=x\operatorname{sen}(x)+x^{2}.
Assim
f(x,y)=y\bigl(h(x)\bigr)^{3}.
Para \dfrac{\partial f}{\partial x} usaremos a regra da cadeia sobre \bigl(h(x)\bigr)^{3} e lembraremos que y é constante.

Passo 4

Calcular h'(x) (derivada de h em relação a x). Use a regra do produto para x\operatorname{sen}(x):
\frac{d}{dx}\bigl(x\operatorname{sen}(x)\bigr)=\operatorname{sen}(x)+x\operatorname{cos}(x),
e a derivada de x^{2} é 2x. Portanto
h'(x)=\operatorname{sen}(x)+x\operatorname{cos}(x)+2x.

Passo 5

Agora \dfrac{\partial f}{\partial x}:
aplicando que y é constante e que \dfrac{d}{dx}(h(x))^{3}=3(h(x))^{2}h'(x), obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} = y\cdot 3\bigl(h(x)\bigr)^{2}\,h'(x).
Substituindo h(x) e h'(x):
\frac{\partial f}{\partial x} =3y\bigl(x\operatorname{sen}(x)+x^{2}\bigr)^{2}\bigl(\operatorname{sen}(x)+x\operatorname{cos}(x)+2x\bigr).
Dica de prova: escreva mentalmente f(x,y)=y\cdot u(x) com u(x)=(h(x))^{3}; como y é constante, a derivada em x é y\cdot u'(x).

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}:
aqui x é tratado como constante. Como f(x,y)=y\cdot (h(x))^{3} e a derivada de y em relação a y é 1, temos
\frac{\partial f}{\partial y}=\bigl(h(x)\bigr)^{3}=\bigl(x\operatorname{sen}(x)+x^{2}\bigr)^{3}.
Comentário amigável: note que \dfrac{\partial f}{\partial y} saiu bem mais simples — porque a parte que depende de x vira um coeficiente constante quando diferenciamos em relação a y.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=3y\bigl(x\operatorname{sen}(x)+x^{2}\bigr)^{2}\bigl(\operatorname{sen}(x)+x\operatorname{cos}(x)+2x\bigr)
\frac{\partial f}{\partial y}=\bigl(x\operatorname{sen}(x)+x^{2}\bigr)^{3}

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