Calcule as derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
Informações dadas:
Observação útil (pegar do enunciado): a função é produto de
por
.
Passo 2
Conceitos e regras que vamos usar (explicadinhos):
- A derivada parcial de
em relação a , denotada , é a derivada de quando variamos e mantemos fixo (ou constante). - A derivada parcial de
em relação a , denotada , é a derivada de quando variamos e mantemos fixo. - Regras que vamos aplicar:
- Regra do produto (para funções de uma variável, aplicada aqui mantendo a outra variável constante): se
então . - Regra da cadeia: se
então .
No nosso caso, ao calculartratamos como constante; ao calcular tratamos como constante.
- Regra do produto (para funções de uma variável, aplicada aqui mantendo a outra variável constante): se
Passo 3
Preparação: identifiquemos a parte que depende de
e a parte que depende de
.
Defina
Defina
Assim
Para
usaremos a regra da cadeia sobre
e lembraremos que
é constante.
Passo 4
Calcular
(derivada de
em relação a
). Use a regra do produto para
:
e a derivada de
é
. Portanto
Passo 5
Agora
:
aplicando que é constante e que
, obtemos
aplicando que
Substituindo
e
:
Dica de prova: escreva mentalmente
com
; como
é constante, a derivada em
é
.
Passo 6
Calcular
:
aqui é tratado como constante. Como
e a derivada de
em relação a
é
, temos
aqui
Comentário amigável: note que
saiu bem mais simples — porque a parte que depende de
vira um coeficiente constante quando diferenciamos em relação a
.