Determine a equação do plano tangente à superfície f(x, y)=-x^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2} no ponto P=(1,2,9).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y) = -x^{2}\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)^{2} e pede a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto P=(1,2,9).
Informações relevantes:
  • A superfície é dada por z=f(x,y) com f acima.
  • O ponto fornecido é P=(1,2,9).
  • A pergunta: determinar a equação do plano tangente à superfície no ponto P.

Passo 2

Primeiro verifiquemos se o ponto P realmente pertence à superfície. Para isso calculamos o valor de f em x=1 e y=2:
f(1,2) = -1^{2}\bigl(1^{2}-2^{2}\bigr)^{2} = -1\cdot(1-4)^{2} = -1\cdot(-3)^{2} = -9.
Portanto f(1,2) = -9, ou seja o ponto da superfície com x=1,y=2 é (1,2,-9), e não (1,2,9). Como 9 \neq -9, o ponto P=(1,2,9) NÃO pertence à superfície. Logo não faz sentido falar do plano tangente à superfície no ponto P=(1,2,9): não existe plano tangente daquela superfície nesse ponto porque o ponto não está sobre a superfície.
Diante disso, para dar uma resposta útil para a prova (provavelmente houve um erro de sinal no enunciado), vou encontrar o plano tangente no ponto da superfície correspondente a x=1,y=2, isto é no ponto correto P_0=(1,2,-9). Se o enunciado realmente exigia o ponto (1,2,9), então a resposta correta é informar que o ponto não pertence à superfície; caso o objetivo fosse o ponto que está sobre a superfície, o plano tangente é o que vou calcular a seguir.

Passo 3

Explicando a ideia do plano tangente (passo-a-passo didático e sem pular etapas):
  • A superfície é z=f(x,y). O plano tangente a essa superfície no ponto (a,b,f(a,b)) é a melhor aproximação linear da função f perto de (a,b).
  • A fórmula do plano tangente é
z = f(a,b) + f_x(a,b)\,(x-a) + f_y(a,b)\,(y-b),
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente.
  • Interpretação das derivadas parciais:
    • f_x(a,b) é a inclinação da superfície na direção do eixo x quando y é mantido fixo em b.
    • f_y(a,b) é a inclinação na direção do eixo y quando x é mantido fixo em a.
  • Portanto o plano tangente é determinado calculando f(a,b), f_x(a,b) e f_y(a,b) e substituindo na fórmula acima.
Vamos aplicar isso no ponto (a,b)=(1,2) (o ponto sobre a superfície é (1,2,-9)).

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de f(x,y) = -x^{2}\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)^{2} com atenção às regras de produto e cadeia.
É útil definir g(x,y)=x^{2}-y^{2}, assim f(x,y) = -x^{2}\,g(x,y)^{2}.
Derivada parcial em relação a x:
  • Use produto e cadeia. Seja u(x)=x^{2} e v(x,y)=g(x,y)^{2}. Então f=-u v.
  • u_x = 2x.
  • Para v, v = g^{2} então v_x = 2g\cdot g_x. E g_x = 2x.
  • Logo v_x = 2g\cdot 2x = 4xg.
  • Agora
f_x = -\bigl(u_x v + u v_x\bigr) = -\bigl(2x\cdot g^{2} + x^{2}\cdot 4xg\bigr).
Fatorando 2xg:
f_x = -2x g\bigl(g + 2x^{2}\bigr).
Voltando a g=x^{2}-y^{2} e simplificando g+2x^{2}=3x^{2}-y^{2}, temos
f_x(x,y) = -2x\,(x^{2}-y^{2})\,(3x^{2}-y^{2}).
Derivada parcial em relação a y:
  • f = -x^{2} g^{2}. Aqui apenas g depende de y.
  • g_y = -2y.
  • Usando cadeia:
f_y = -x^{2}\cdot 2g\cdot g_y = -2x^{2} g\cdot(-2y) = 4x^{2} y\, g.
Ou seja
f_y(x,y) = 4x^{2} y\,(x^{2}-y^{2}).

Passo 5

Avaliar f, f_x e f_y no ponto (1,2).
  • Já calculamos f(1,2) = -9.
  • Calcule f_x(1,2). Use a expressão
f_x(x,y) = -2x\,(x^{2}-y^{2})\,(3x^{2}-y^{2}).
Substituindo x=1, y=2:
x^{2}-y^{2} = 1-4 = -3,\qquad 3x^{2}-y^{2}=3-4=-1.
Logo
f_x(1,2) = -2\cdot1\cdot(-3)\cdot(-1) = -6.
  • Calcule f_y(1,2). Use
f_y(x,y)=4x^{2} y\,(x^{2}-y^{2}).
Substituindo x=1, y=2:
f_y(1,2)=4\cdot1^{2}\cdot2\cdot(-3)=8\cdot(-3)=-24.

Passo 6

Agora escrevemos o plano tangente no ponto (a,b,f(a,b))=(1,2,-9) usando a fórmula
z = f(1,2) + f_x(1,2)\,(x-1) + f_y(1,2)\,(y-2).
Substituindo os valores f(1,2)=-9, f_x(1,2)=-6, f_y(1,2)=-24:
z = -9 + (-6)(x-1) + (-24)(y-2).
Podemos simplificar:
z = -9 -6(x-1) -24(y-2) = -6x -24y +45.
Também pode ser escrita na forma implícita:
6x +24y + z -45 = 0.

Resposta

O ponto P=(1,2,9) NÃO pertence à superfície (pois f(1,2)=-9\neq9).
Plano tangente à superfície no ponto correto (1,2,-9):
z = -6x -24y +45

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