Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Informações relevantes:
- A superfície é dada por
com acima. - O ponto fornecido é
. - A pergunta: determinar a equação do plano tangente à superfície no ponto
.
Passo 2
Primeiro verifiquemos se o ponto
realmente pertence à superfície. Para isso calculamos o valor de
em
e
:
Portanto
, ou seja o ponto da superfície com
é
, e não
. Como
, o ponto
NÃO pertence à superfície. Logo não faz sentido falar do plano tangente à superfície no ponto
: não existe plano tangente daquela superfície nesse ponto porque o ponto não está sobre a superfície.
Diante disso, para dar uma resposta útil para a prova (provavelmente houve um erro de sinal no enunciado), vou encontrar o plano tangente no ponto da superfície correspondente a
, isto é no ponto correto
. Se o enunciado realmente exigia o ponto
, então a resposta correta é informar que o ponto não pertence à superfície; caso o objetivo fosse o ponto que está sobre a superfície, o plano tangente é o que vou calcular a seguir.
Passo 3
Explicando a ideia do plano tangente (passo-a-passo didático e sem pular etapas):
- A superfície é
. O plano tangente a essa superfície no ponto é a melhor aproximação linear da função perto de . - A fórmula do plano tangente é
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
- Interpretação das derivadas parciais:
-
é a inclinação da superfície na direção do eixo quando é mantido fixo em . -
é a inclinação na direção do eixo quando é mantido fixo em .
-
- Portanto o plano tangente é determinado calculando
, e e substituindo na fórmula acima.
Vamos aplicar isso no ponto
(o ponto sobre a superfície é
).
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
com atenção às regras de produto e cadeia.
É útil definir
, assim
.
Derivada parcial em relação a
:
- Use produto e cadeia. Seja
e . Então . -
. - Para
, então . E . - Logo
. - Agora
Fatorando
:
Voltando a
e simplificando
, temos
Derivada parcial em relação a
:
-
. Aqui apenas depende de . -
. - Usando cadeia:
Ou seja
Passo 5
Avaliar
,
e
no ponto
.
-
Já calculamos
. -
Calcule
. Use a expressão
Substituindo
,
:
Logo
- Calcule
. Use
Substituindo
,
:
Passo 6
Agora escrevemos o plano tangente no ponto
usando a fórmula
Substituindo os valores
,
,
:
Podemos simplificar:
Também pode ser escrita na forma implícita:
Resposta
O ponto
NÃO pertence à superfície (pois
).
Plano tangente à superfície no ponto correto :
Plano tangente à superfície no ponto correto