Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
(24.2)
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(24.2)
Passo 1
Beleza, vamos resolver as derivadas parciais da função $ z = \arcsen(\sqrt{xy}) $. Isso está dentro do conteúdo de cálculo, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia e saber como derivar a função arco seno.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $.
A função é $ z = \arcsen(\sqrt{xy}) $.
Aplicando a regra da cadeia:
- Derivamos o arco seno em relação ao seu argumento:
- Multiplicamos pela derivada do argumento $ \sqrt{xy} $ em relação a $ x $:
Então, juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial y} $.
A função é $ z = \arcsen(\sqrt{xy}) $.
Aplicando a regra da cadeia novamente:
- Derivamos o arco seno em relação ao seu argumento:
- Multiplicamos pela derivada do argumento $ \sqrt{xy} $ em relação a $ y $:
Então, juntando tudo:
Resposta
As derivadas parciais da função $ z = \arcsen(\sqrt{xy}) $ são:
e