Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
(24.2) z=arcsen(raizx y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver as derivadas parciais da função $ z = \arcsen(\sqrt{xy}) $. Isso está dentro do conteúdo de cálculo, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia e saber como derivar a função arco seno.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $.
A função é $ z = \arcsen(\sqrt{xy}) $.
Aplicando a regra da cadeia:
  1. Derivamos o arco seno em relação ao seu argumento:
  2. Multiplicamos pela derivada do argumento $ \sqrt{xy} $ em relação a $ x $: z
Então, juntando tudo:
x

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial y} $.
A função é $ z = \arcsen(\sqrt{xy}) $.
Aplicando a regra da cadeia novamente:
  1. Derivamos o arco seno em relação ao seu argumento:
  2. Multiplicamos pela derivada do argumento $ \sqrt{xy} $ em relação a $ y $: z
Então, juntando tudo:
y

Resposta

As derivadas parciais da função $ z = \arcsen(\sqrt{xy}) $ são:
z = arcsen(raizxy)
e
partial zpartial x = y2,raizxy, raiz1 - xy

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