Calcule os limites:
(21.4) f(x, y)=ll(x+y-4)(x^2+x y)(x-1)+(y-3) ; & se y neq 4-x 2 ; & se y=4-x e P0(1,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da função $ f(x, y) $ quando o ponto f(x, y) se aproxima de $ P_{0}(1,3) $. A função é definida de duas formas:
  • Para $ y \neq 4 - x $, ela é (x, y).
  • Para $ y = 4 - x $, ela é igual a 2.
Vamos precisar usar conceitos de limites multivariáveis e verificar se o limite existe de diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para $ y \neq 4 - x $. Observamos que no denominador temos $ (x-1)+(y-3) = x + y - 4 $. Isso é interessante porque aparece no numerador também. Então, a função fica:
y neq 4 - x
Claro, isso só vale quando $ y \neq 4 - x $.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o limite de $ f(x, y) $ quando $(x, y) $ se aproxima de $ (1,3) $. Vimos que, para $ y \neq 4 - x $, a função simplifica para $ x^{2} + x y $. Vamos calcular o limite dessa expressão:
f(x, y)
Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 3 $:
(x, y)

Passo 4

Agora, precisamos verificar o que acontece quando $ y = 4 - x $, que é o outro caso da função. Nesse caminho, a função é sempre igual a 2, independentemente de $ x $ e $ y $. Então, se nos aproximarmos de $ (1,3) $ seguindo a linha $ y = 4 - x $, o limite será 2.

Passo 5

Para que o limite exista, ele precisa ser o mesmo por todos os caminhos. Mas vimos que:
  • Pelo caminho geral $ y \neq 4 - x $, o limite é 4.
  • Pelo caminho específico $ y = 4 - x $, o limite é 2.
Como os limites são diferentes, isso significa que o limite geral da função $ f(x, y) $ em $ (1,3) $ não existe.

Resposta

O limite da função $ f(x, y) $ quando $(x, y) $ se aproxima de $ (1,3) $ não existe.

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