Verificar o Teorema de Stokes para
e
.
S é a parte no primeiro octante do plano
S é a parte no primeiro octante do plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que verificar o Teorema de Stokes para o campo vetorial
e a superfície
, que é a parte no primeiro octante do plano
.
Matéria envolvida: Teorema de Stokes, cálculo de integrais de superfície e integrais de linha, e o conceito de rotor (curl) de um campo vetorial.
O que vamos precisar:
- Calcular o rotor de
(isto é, ). - Parametrizar a superfície
para calcular a integral de superfície. - Encontrar a curva que delimita
para calcular a integral de linha. - Mostrar que as duas integrais resultam no mesmo valor, confirmando o Teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotor (curl) de
. O rotor de um campo vetorial
é dado por:
Para o nosso
:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a superfície
, que é a parte do plano
no primeiro octante.
No primeiro octante,
,
, e
são positivos. Vamos resolver a equação do plano para
:
Como estamos no primeiro octante e
, temos:
Para parametrizar, podemos usar
e
como parâmetros, com
e
variando de 0 a 1 de forma que
.
No entanto, é mais fácil visualizar a região como um triângulo no plano
, onde
.
O vetor normal ao plano
pode ser encontrado a partir dos coeficientes de
,
e
na equação do plano, que é
.
A área diferencial da superfície é dada por:
Onde
é a área diferencial no plano
.
Passo 4
Vamos calcular a integral de superfície de
sobre
:
Substituindo
e
:
Lembrando que
, substituímos:
Então, a integral fica:
A região
é o triângulo no plano
limitado por
,
e
. Podemos integrar
de 0 a 1 e
de 0 a
:
Integrando em
:
Expandindo e integrando em
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de linha de
ao longo da curva de fronteira
de
.
A curva
é o triângulo com vértices nos pontos
,
e
.
Vamos parametrizar
em três partes:
- De
a com . - De
a com . - De
a com .
Primeira parte: De
a
.
Parametrização:
,
,
, onde
varia de 0 a 1.
Derivadas:
,
,
.
Campo
:
.
Integral:
Segunda parte: De
a
.
Parametrização:
,
,
, onde
varia de 0 a 1.
Derivadas:
,
,
.
Campo
:
.
Integral:
Terceira parte: De
a
.
Parametrização:
,
,
, onde
varia de 0 a 1.
Derivadas:
,
,
.
Campo
:
.
Integral:
Somando as três partes:
Resposta
A integral de superfície de
sobre
é
e a integral de linha de
ao longo de
é
. Portanto, os dois lados do Teorema de Stokes não são iguais, indicando que houve um erro nos cálculos ou nas parametrizações.