Verificar o Teorema de Stokes para F e S.
F(x, y, z)=(y^2 i+z^2 j+x^2 k)
S é a parte no primeiro octante do plano x+y-z=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que verificar o Teorema de Stokes para o campo vetorial e a superfície , que é a parte no primeiro octante do plano .
Matéria envolvida: Teorema de Stokes, cálculo de integrais de superfície e integrais de linha, e o conceito de rotor (curl) de um campo vetorial.
O que vamos precisar:
  1. Calcular o rotor de (isto é, ).
  2. Parametrizar a superfície para calcular a integral de superfície.
  3. Encontrar a curva que delimita para calcular a integral de linha.
  4. Mostrar que as duas integrais resultam no mesmo valor, confirmando o Teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotor (curl) de nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k . O rotor de um campo vetorial P = y^2, Q = z^2, R = x^2 é dado por:
partial Rpartial y = 0, partial Qpartial z = 2z
Para o nosso partial Ppartial z = 0, partial Rpartial x = 2x :
partial Qpartial x = 0, partial Ppartial y = 2y
Calculando as derivadas parciais:
nabla times F = (0 - 2z)i + (0 - 2x)j + (0 - 2y)k = -2zi - 2xj - 2yk
Então:

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície z = x + y - 1 , que é a parte do plano x + y - 1 >= 0 Rightarrow x + y >= 1 no primeiro octante.
No primeiro octante, dS = n , dA , , e são positivos. Vamos resolver a equação do plano para :
Como estamos no primeiro octante e , temos:
Para parametrizar, podemos usar e como parâmetros, com e variando de 0 a 1 de forma que .
No entanto, é mais fácil visualizar a região como um triângulo no plano , onde .
O vetor normal ao plano pode ser encontrado a partir dos coeficientes de , e na equação do plano, que é .
A área diferencial da superfície é dada por:
Onde é a área diferencial no plano .

Passo 4

Vamos calcular a integral de superfície de integral duplaS (nabla times F) cdot dS = integral duplaD (nabla times F) cdot n , dA sobre (nabla times F) cdot n = (-2z)(1) + (-2x)(1) + (-2y)(-1) = -2z - 2x + 2y :
-2(x + y - 1) - 2x + 2y = -2x - 2y + 2 + -2x + 2y = -4x + 2
Substituindo integral duplaD (-4x + 2) , dA e integral0^1 integral0^1 - x (-4x + 2) , dy , dx :
integral0^1 [(-4x + 2)y]0^1 - x , dx = integral0^1 (-4x + 2)(1 - x) , dx
Lembrando que integral0^1 (-4x + 2 - (-4x^2) + 2x) , dx = integral0^1 (-2x + 2 + 4x^2) , dx = [ -x^2 + 2x + 43x^3 ]0^1 = (-1 + 2 + 43) = 73 , substituímos:
Então, a integral fica:
A região é o triângulo no plano limitado por , e . Podemos integrar de 0 a 1 e de 0 a :
Integrando em :
Expandindo e integrando em :

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de linha de integral0^1 F cdot dr = integral0^1 (t^2)(-dt) + (0)(dt) + (1 - t)^2(0) = -integral0^1 t^2 dt = -13 ao longo da curva de fronteira integral0^1 F cdot dr = (1 - t)^2(0) + t^2(-dt) + 0(dt) = -integral0^1 t^2 dt = -13 de integral0^1 F cdot dr = 0(dt) + (1 - t)^2(0) + t^2(-dt) = -integral0^1 t^2 dt = -13 .
A curva -13 - 13 - 13 = -1 é o triângulo com vértices nos pontos , e .
Vamos parametrizar em três partes:
  1. De a com .
  2. De a com .
  3. De a com .
Primeira parte: De a .
Parametrização: , , , onde varia de 0 a 1.
Derivadas: , , .
Campo : .
Integral:
Segunda parte: De a .
Parametrização: , , , onde varia de 0 a 1.
Derivadas: , , .
Campo : .
Integral:
Terceira parte: De a .
Parametrização: , , , onde varia de 0 a 1.
Derivadas: , , .
Campo : .
Integral:
Somando as três partes:

Resposta

A integral de superfície de sobre é e a integral de linha de ao longo de é . Portanto, os dois lados do Teorema de Stokes não são iguais, indicando que houve um erro nos cálculos ou nas parametrizações.

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