Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
(24.5)
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(24.5)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as derivadas parciais da função $ z = e^{x y} \cos (2x - y) $. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que são úteis quando temos funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $. A função $ z $ é o produto de duas funções: $ e^{x y} $ e $ \cos(2x - y) $. Para derivar o produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $.
Passo 3
Vamos identificar $ u = e^{x y} $ e $ v = \cos(2x - y) $. Primeiro, derivamos $ u $ em relação a $ x $:
Isso porque a derivada de $ e^{x y} $ em relação a $ x $ é $ y e^{x y} $ (usando a regra da cadeia).
Passo 4
Agora, derivamos $ v = \cos(2x - y) $ em relação a $ x $:
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de $ \cos(u) $ é $ -\sin(u) \cdot u’ $, onde $ u = 2x - y $ e $ u’ = 2 $.
Passo 5
Aplicando a regra do produto, temos:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Podemos fatorar $ e^{x y} $ para simplificar:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Novamente, usamos a regra do produto para derivar $ z = e^{x y} \cos(2x - y) $.
Passo 8
Identificando novamente $ u = e^{x y} $ e $ v = \cos(2x - y) $, derivamos $ u $ em relação a $ y $:
A derivada de $ e^{x y} $ em relação a $ y $ é $ x e^{x y} $ (usando a regra da cadeia).
Passo 9
Derivamos $ v = \cos(2x - y) $ em relação a $ y $:
Mais uma vez, usando a regra da cadeia.
Passo 10
Aplicando a regra do produto:
Substituindo os valores:
Passo 11
Fatorando $ e^{x y} $:
Resposta
As derivadas parciais da função são: