Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
(24.5) z=e^x y cos (2 x-y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as derivadas parciais da função $ z = e^{x y} \cos (2x - y) $. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que são úteis quando temos funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $. A função $ z $ é o produto de duas funções: $ e^{x y} $ e $ \cos(2x - y) $. Para derivar o produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $.

Passo 3

Vamos identificar $ u = e^{x y} $ e $ v = \cos(2x - y) $. Primeiro, derivamos $ u $ em relação a $ x $:
u = e^x y
Isso porque a derivada de $ e^{x y} $ em relação a $ x $ é $ y e^{x y} $ (usando a regra da cadeia).

Passo 4

Agora, derivamos $ v = \cos(2x - y) $ em relação a $ x $:
v = cos(2x - y)
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de $ \cos(u) $ é $ -\sin(u) \cdot u’ $, onde $ u = 2x - y $ e $ u’ = 2 $.

Passo 5

Aplicando a regra do produto, temos:
partial zpartial x = partial upartial x cdot v + u cdot partial vpartial x
Substituindo os valores que encontramos:
partial zpartial x = y e^x y cdot cos(2x - y) + e^x y cdot (-2 sin(2x - y))

Passo 6

Podemos fatorar $ e^{x y} $ para simplificar:
e^x y

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Novamente, usamos a regra do produto para derivar $ z = e^{x y} \cos(2x - y) $.

Passo 8

Identificando novamente $ u = e^{x y} $ e $ v = \cos(2x - y) $, derivamos $ u $ em relação a $ y $:
u = e^x y
A derivada de $ e^{x y} $ em relação a $ y $ é $ x e^{x y} $ (usando a regra da cadeia).

Passo 9

Derivamos $ v = \cos(2x - y) $ em relação a $ y $:
v = cos(2x - y)
Mais uma vez, usando a regra da cadeia.

Passo 10

Aplicando a regra do produto:
partial zpartial y = partial upartial y cdot v + u cdot partial vpartial y
Substituindo os valores:
partial zpartial y = x e^x y cdot cos(2x - y) + e^x y cdot sin(2x - y)

Passo 11

Fatorando $ e^{x y} $:
e^x y

Resposta

As derivadas parciais da função são:
partial zpartial x = e^x y ( y cos(2x - y) - 2 sin(2x - y) )
partial zpartial y = e^x y ( x cos(2x - y) + sin(2x - y) )

Exercícios relacionados