Obtenha uma solução geral (real) das equações a seguir.
y^prime prime+4 y^prime+4 y=e^-2 x sen 2 x

Passo 1

A questão pede a solução geral real de y''+4y'+4y=e^-2xsin2x. Isso é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos achar a solução complementar yc da homogênea e depois uma solução particular yp.

Passo 2

Para obter yc, montamos a equação característica r^2+4r+4=0. Ela tem raiz dupla r=-2. Logo
yc=(C1+C2x)e^-2x

Passo 3

Para achar yp usamos o método dos coeficientes a determinar via complexificação. Note que e^-2xsin2x=Iml(e^-2xe^i2xr)=Iml(e^(-2+2i)xr). Logo procuramos
Y=Ae^(-2+2i)x, e substituímos na equação original. No LHS aparece o fator
(-2+2i)^2+4(-2+2i)+4=-4, portanto
-4A e^(-2+2i)x=e^(-2+2i)ximplies A=-tfrac14

Passo 4

A parte imaginária de Y dá a solução particular real:
yp=Im(Y)=-tfrac14e^-2xsin2x

Passo 5

Somando yc e yp, obtemos a solução geral:
y=(C1+C2x)e^-2x-tfrac14e^-2xsin2x

Resposta

y=(C1+C2x)e^-2x-tfrac14e^-2xsin2x

Exercícios relacionados