Obtenha uma solução geral (real) das equações a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral real da EDO não-homogênea de segunda ordem
Aqui o conteúdo envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e termo-polinomial. Vamos usar o método da equação característica para a parte homogênea e o método dos coeficientes indeterminados para a particular.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
A equação característica é
Que fatoriza em
Logo a solução complementar é
Passo 3
Como o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 3, propomos uma solução particular do tipo
Calculamos então suas derivadas:
Passo 4
Substituindo na equação original fazemos
Agrupando por potências de x e igualando a
obtemos o sistema:
Resolvendo, achamos
Então
Passo 5
A solução geral da EDO é a soma da complementar com a particular:
Resposta
y(x) = C_1 e^{-3x} + C_2 e^{2x} - x^3 - 3x - \tfrac12