Obtenha uma solução geral (real) das equações a seguir.
y^prime prime+y^prime-6 y=6 x^3-3 x^2+12 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral real da EDO não-homogênea de segunda ordem
y'' + y' - 6y = 6x^3 - 3x^2 + 12x
Aqui o conteúdo envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e termo-polinomial. Vamos usar o método da equação característica para a parte homogênea e o método dos coeficientes indeterminados para a particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
y'' + y' - 6y = 0
A equação característica é
r^2 + r - 6 = 0
Que fatoriza em
(r + 3)(r - 2) = 0 implies r1 = -3, r2 = 2
Logo a solução complementar é
yh(x) = C1 e^-3x + C2 e^2x

Passo 3

Como o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 3, propomos uma solução particular do tipo
yp(x) = A x^3 + B x^2 + C x + D
Calculamos então suas derivadas:
yp'(x) = 3A x^2 + 2B x + C,
yp''(x) = 6A x + 2B

Passo 4

Substituindo na equação original fazemos
yp'' + yp' - 6yp = (6A x + 2B) + (3A x^2 + 2B x + C) - 6(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D)
Agrupando por potências de x e igualando a 6x^3 - 3x^2 + 12x obtemos o sistema:
-6A = 6,
3A - 6B = -3,
6A + 2B - 6C = 12,
2B + C - 6D = 0
Resolvendo, achamos
A = -1,
B = 0,
C = -3,
D = -tfrac12
Então
yp(x) = -x^3 - 3x - tfrac12

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da complementar com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^-3x + C2 e^2x - x^3 - 3x - tfrac12

Resposta

y(x) = C_1 e^{-3x} + C_2 e^{2x} - x^3 - 3x - \tfrac12

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