Obtenha uma solução geral (real) das equações a seguir.
y^prime prime+3 y^prime+2 y=30 e^2 x

Passo 1

A equação dada é uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo forçado: precisamos da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular.

Passo 2

Para a solução complementar resolvemos a equação característica associada:
r^2 + 3r + 2 = 0

Passo 3

As raízes são r = -1 e r = -2, então a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x

Passo 4

Para a solução particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo forçado é 30 e^{2x}, tentamos
yp(x) = A e^2x

Passo 5

Calculando derivadas: y_p’ = 2A e^{2x} e y_p’’ = 4A e^{2x}. Substituindo na equação original:
yp'' + 3yp' + 2yp = (4A + 6A + 2A)e^2x = 12A e^2x = 30 e^2x

Passo 6

Isso dá 12A = 30, logo A = 5/2, e portanto
yp(x) = 52 e^2x

Resposta

A solução geral é
y(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x + 52 e^2x

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