Obtenha uma solução geral (real) das equações a seguir.
Passo 1
A equação dada é uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo forçado: precisamos da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular.
Passo 2
Para a solução complementar resolvemos a equação característica associada:
Passo 3
As raízes são r = -1 e r = -2, então a solução homogênea é
Passo 4
Para a solução particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo forçado é 30 e^{2x}, tentamos
Passo 5
Calculando derivadas: y_p’ = 2A e^{2x} e y_p’’ = 4A e^{2x}. Substituindo na equação original:
Passo 6
Isso dá 12A = 30, logo A = 5/2, e portanto
Resposta
A solução geral é