Calcule as derivadas parciais das seguintes funções abaixo por meio das regras de derivação tradicionais e também aplique o Teorema de Schwarz naquelas em vermelho:
f(x, y)=3 x-6 y f(x, y)=\frac{9 y}{x^{2}} f(x, y)=\operatorname{sen}\left(3 x^{2} y\right) f(x, y, z)=4 x y z+\ln (2 x y z)
f(x, y)=-5 x^{2}+4 y^{3} f(x, y)=\left(2 x^{2}-3 y^{3}\right)^{3} f(x, y)=4 x^{5} \operatorname{sen}\left(2 y^{3}\right) f(x, y, z)=e^{x y^{2}}+\ln (y+z)
f(x, y)=6 x^{2} y-7 x^{2} y^{2} f(x, y)=\sqrt{x y} f(x, y)=7 e^{2 x^{2} y} f(x, y, z)=x^{2} y+y^{2} z+z^{2} x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule as derivadas parciais das funções listadas utilizando as regras tradicionais de diferenciação e que eu aplique o Teorema de Schwarz (igualdade das derivadas parciais mistas) nas funções que estiverem marcadas em vermelho. As funções fornecidas são (lista fiel do enunciado):
  1. f(x,y)=3x-6y
  2. f(x,y)=\dfrac{9y}{x^{2}}
  3. f(x,y)=\operatorname{sen}\!\big(3x^{2}y\big)
  4. f(x,y,z)=4xyz+\ln(2xyz)
  5. f(x,y)=-5x^{2}+4y^{3}
  6. f(x,y)=\big(2x^{2}-3y^{3}\big)^{3}
  7. f(x,y)=4x^{5}\operatorname{sen}\!\big(2y^{3}\big)
  8. f(x,y,z)=e^{xy^{2}}+\ln(y+z)
  9. f(x,y)=6x^{2}y-7x^{2}y^{2}
  10. f(x,y)=\sqrt{xy}
  11. f(x,y)=7e^{2x^{2}y}
  12. f(x,y,z)=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x
Informação importante: o enunciado menciona “aquelas em vermelho”, mas não foi enviada informação sobre quais funções estão em vermelho. Portanto, não é possível saber exatamente quais itens deveriam receber a aplicação explícita do Teorema de Schwarz. Para não deixar a parte de Schwarz incompleta, vou calcular as derivadas parciais de primeira ordem de todas as funções e, em seguida, calcular as derivadas parciais mistas relevantes \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} e \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} (e análogas em 3 variáveis) para verificar a igualdade em cada caso — o que equivale a “aplicar” o Teorema de Schwarz em todas as funções onde isso for significativo. Também indicarei as restrições de domínio necessárias (por exemplo x\neq0, y+z>0, xy>0, etc.), pois a existência/continuidade das derivadas de segunda ordem depende do domínio.

Passo 2

Breve resumo das ferramentas que vou usar (aquelas “regras tradicionais” de que o enunciado fala), explicadas de forma prática:
  • Definição de derivada parcial: para uma função f(x,y,\dots), a derivada parcial em relação a x é a derivada de f quando se trata y,\dots como constantes. Notação: \dfrac{\partial f}{\partial x} ou f_x.
  • Regras básicas:
    • Derivada de soma/constante: \dfrac{\partial}{\partial x}(A+B)=A_x+B_x, \dfrac{\partial}{\partial x}(c\cdot A)=c\cdot A_x.
    • Potência: \dfrac{d}{dx}x^n = n x^{n-1} (aplicada quando a variável aparece no fator).
    • Regra do produto (para funções u(x,y)\,v(x,y)): \dfrac{\partial}{\partial x}(uv)=u_x v + u v_x.
    • Regra da cadeia: se f=g(h(x,y)) então f_x = g'(h)\cdot h_x.
    • Derivada de expo e log: \dfrac{d}{dx}e^{u}=e^{u}u', \dfrac{d}{dx}\ln(u)=\dfrac{u'}{u}.
    • Derivadas trigonométricas: \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(u)=\cos(u)u', \dfrac{d}{dx}\cos(u)=-\operatorname{sen}(u)u'.
    • Regra do quociente pode ser evitada se reescrever como potência negativa (por ex. \dfrac{9y}{x^2}=9y x^{-2}).
  • Teorema de Schwarz (Clairaut): se as segundas derivadas mistas \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} e \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} são contínuas numa vizinhança de um ponto, então elas são iguais naquele ponto. Na prática, para funções compostas por polinômios, exponenciais, logaritmos (em domínios adequados), raízes e funções trigonométricas, as segundas derivadas mistas costumam existir e ser contínuas dentro do domínio natural, então a igualdade normalmente vale.
Agora eu calculo, item por item, mostrando os passos e indicando as regras usadas.

Passo 3

Função 1: f(x,y)=3x-6y.
  • Regra usada: derivada de função linear.
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}=3.
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}=-6.
  • Segundas mistas: \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(3)=0 e \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(-6)=0. Igualdade verificada.

Passo 4

Função 2: f(x,y)=\dfrac{9y}{x^{2}}=9y x^{-2}. (Domínio: x\neq0.)
  • Regra usada: potência negativa e derivada em relação a x; em y é coeficiente multiplicativo.
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}=9y\cdot(-2)x^{-3}=-\dfrac{18y}{x^{3}}.
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}=9x^{-2}=\dfrac{9}{x^{2}}.
  • Segundas mistas:
    • \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(-\dfrac{18y}{x^{3}}\right)=-\dfrac{18}{x^{3}}.
    • \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{9}{x^{2}}\right)=9\cdot(-2)x^{-3}=-\dfrac{18}{x^{3}}.
  • Igualdade verificada para x\neq0.

Passo 5

Função 3: f(x,y)=\operatorname{sen}\!\big(3x^{2}y\big).
  • Regra usada: cadeia com u(x,y)=3x^{2}y.
  • Primeiro calcule u_x=6xy e u_y=3x^{2}.
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}=\cos\!\big(3x^{2}y\big)\cdot u_x =6xy\cos\!\big(3x^{2}y\big).
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}=\cos\!\big(3x^{2}y\big)\cdot u_y =3x^{2}\cos\!\big(3x^{2}y\big).
  • Segundas mistas (computar com cuidado usando produto e cadeia):
    • \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\big(6xy\cos(u)\big) com u=3x^{2}y.
      • Derivada de 6xy\cos(u) em y: 6x\cos(u) + 6xy\cdot(-\operatorname{sen}(u))\cdot u_y.
      • Substituindo u_y=3x^{2}: 6x\cos(u) - 6xy\operatorname{sen}(u)\cdot 3x^{2}=6x\cos(u)-18x^{3}y\operatorname{sen}(u).
    • \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\big(3x^{2}\cos(u)\big).
      • Derivada: 6x\cos(u) + 3x^{2}\cdot(-\operatorname{sen}(u))\cdot u_x.
      • Substituindo u_x=6xy: 6x\cos(u)-3x^{2}\operatorname{sen}(u)\cdot 6xy=6x\cos(u)-18x^{3}y\operatorname{sen}(u).
  • As duas mistas coincidem, logo Schwarz vale (a função é suave em todo (x,y)).

Passo 6

Função 4: f(x,y,z)=4xyz+\ln(2xyz). (Domínio: 2xyz>0, ou seja xyz>0, para o logaritmo real.)
  • Regra usada: soma, produto, e derivada de \ln.
  • Derivada do termo polinomial:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(4xyz)=4yz.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(4xyz)=4xz.
    • \dfrac{\partial}{\partial z}(4xyz)=4xy.
  • Derivada do log: \dfrac{\partial}{\partial x}\ln(2xyz)=\dfrac{1}{2xyz}\cdot 2yz=\dfrac{1}{x}. (Idem para as outras variáveis.)
  • Portanto:
    • \dfrac{\partial f}{\partial x}=4yz+\dfrac{1}{x}.
    • \dfrac{\partial f}{\partial y}=4xz+\dfrac{1}{y}.
    • \dfrac{\partial f}{\partial z}=4xy+\dfrac{1}{z}.
  • Segundas mistas (ex.: x,y):
    • \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(4yz+\dfrac{1}{x}\right)=4z.
    • \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(4xz+\dfrac{1}{y}\right)=4z.
  • Análogas para os outros pares: todas iguais (ex.: \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial z}=4y=\dfrac{\partial^2 f}{\partial z\partial x}, etc.). Schwarz vale no domínio xyz>0.

Passo 7

Função 5: f(x,y)=-5x^{2}+4y^{3}.
  • Regras: derivada de potência.
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}=-10x.
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}=12y^{2}.
  • Segundas mistas: ambas nulas ( \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=0 e \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=0). Schwarz vale.

Passo 8

Função 6: f(x,y)=\big(2x^{2}-3y^{3}\big)^{3}.
  • Regra usada: cadeia. Seja g(x,y)=2x^{2}-3y^{3}. Então f=g^{3}, f'_{g}=3g^{2}.
  • g_x=4x, g_y=-9y^{2}.
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}=3g^{2}\cdot g_x =3(2x^{2}-3y^{3})^{2}\cdot 4x =12x(2x^{2}-3y^{3})^{2}.
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}=3g^{2}\cdot g_y =3(2x^{2}-3y^{3})^{2}\cdot(-9y^{2}) =-27y^{2}(2x^{2}-3y^{3})^{2}.
  • Segundas mistas:
    • \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\big(12x g^{2}\big)=12x\cdot 2g\cdot g_y =24x g\cdot(-9y^{2})=-216 x y^{2} g.
    • \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\big(-27y^{2} g^{2}\big)=-27y^{2}\cdot 2g\cdot g_x =-54 y^{2} g\cdot 4x =-216 x y^{2} g.
  • Igualdade verificada; função polinomial composta, portanto suave.

Passo 9

Função 7: f(x,y)=4x^{5}\operatorname{sen}\!\big(2y^{3}\big).
  • Regra usada: produto u(x)=4x^{5} e v(y)=\operatorname{sen}(2y^{3}). Observação: v depende só de y.
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}=u'(x)\,v(y)=20x^{4}\operatorname{sen}(2y^{3}).
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}=u(x)\,v'(y)=4x^{5}\cos(2y^{3})\cdot (6y^{2})=24x^{5}y^{2}\cos(2y^{3}).
  • Segundas mistas:
    • \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\big(20x^{4}\operatorname{sen}(2y^{3})\big)=20x^{4}\cos(2y^{3})\cdot 6y^{2}=120x^{4}y^{2}\cos(2y^{3}).
    • \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\big(24x^{5}y^{2}\cos(2y^{3})\big)=120x^{4}y^{2}\cos(2y^{3}).
  • Igualdade verificada.

Passo 10

Função 8: f(x,y,z)=e^{xy^{2}}+\ln(y+z). (Domínio: y+z>0.)
  • Regras: cadeia para e^{xy^{2}} e log para \ln(y+z).
  • Derivadas de primeira ordem:
    • \dfrac{\partial f}{\partial x}=y^{2}e^{xy^{2}}.
    • \dfrac{\partial f}{\partial y}=2xy\,e^{xy^{2}}+\dfrac{1}{y+z}.
    • \dfrac{\partial f}{\partial z}=\dfrac{1}{y+z}.
  • Segundas mistas (ex.: x,y):
    • \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\big(y^{2}e^{xy^{2}}\big)=2y e^{xy^{2}} + y^{2}e^{xy^{2}}\cdot (2xy)=2y e^{xy^{2}} + 2x y^{3} e^{xy^{2}}.
    • \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\big(2xy e^{xy^{2}}+\dfrac{1}{y+z}\big)=2y e^{xy^{2}} + 2x y^{3} e^{xy^{2}}.
  • Para os pares envolvendo z:
    • \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}\!\big(2xy e^{xy^{2}}+\dfrac{1}{y+z}\big)= -\dfrac{1}{(y+z)^{2}}.
    • \dfrac{\partial^2 f}{\partial z\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\big(\dfrac{1}{y+z}\big)=-\dfrac{1}{(y+z)^{2}}.
  • Todas as mistas coincidem no domínio y+z>0.

Passo 11

Função 9: f(x,y)=6x^{2}y-7x^{2}y^{2}.
  • Regras: produto com potência.
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}=12xy-14xy^{2} (derivando x^{2} em cada termo).
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}=6x^{2}-14x^{2}y.
  • Segundas mistas:
    • \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\!(12xy-14xy^{2})=12x-28xy.
    • \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!(6x^{2}-14x^{2}y)=12x-28xy.
  • Igualdade verificada.

Passo 12

Função 10: f(x,y)=\sqrt{xy}=(xy)^{1/2}. (Para derivadas reais use x>0 e y>0.)
  • Regra usada: cadeia com potência; é útil reescrever f=(xy)^{1/2}.
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}=\tfrac{1}{2}(xy)^{-1/2}\cdot y=\dfrac{y}{2\sqrt{xy}}. Alternativamente \dfrac{1}{2}x^{-1/2}y^{1/2}.
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{x}{2\sqrt{xy}}.
  • Segundas mistas (mais simples se usar a forma fatorada): escrevendo \dfrac{\partial f}{\partial x}=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}y^{1/2},
    • \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}\cdot\tfrac{1}{2}y^{-1/2}=\dfrac{1}{4}(xy)^{-1/2}=\dfrac{1}{4\sqrt{xy}}.
    • \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\dfrac{1}{4\sqrt{xy}}.
  • Igualdade verificada para x>0,y>0.

Passo 13

Função 11: f(x,y)=7e^{2x^{2}y}.
  • Regra: cadeia; seja u=2x^{2}y.
  • u_x=4xy, u_y=2x^{2}.
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}=7e^{u}\cdot u_x =7e^{2x^{2}y}\cdot 4xy =28xy e^{2x^{2}y}.
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}=7e^{u}\cdot u_y =7e^{2x^{2}y}\cdot 2x^{2} =14x^{2} e^{2x^{2}y}.
  • Segundas mistas:
    • \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\!(28xy e^{u}) =28x e^{u} +28xy e^{u}\cdot u_y.
      • Substituindo u_y=2x^{2}: 28x e^{u} +28xy e^{u}\cdot 2x^{2}=28x e^{u} +56 x^{3}y e^{u}.
    • \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!(14x^{2} e^{u}) =28x e^{u} +14x^{2} e^{u}\cdot u_x.
      • Substituindo u_x=4xy: 28x e^{u} +14x^{2} e^{u}\cdot 4xy =28x e^{u} +56 x^{3}y e^{u}.
  • Coincidem; Schwarz vale.

Passo 14

Função 12: f(x,y,z)=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x.
  • Regras: polinômio, derivadas simples.
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}=2xy+z^{2}.
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}=x^{2}+2yz.
  • \dfrac{\partial f}{\partial z}=y^{2}+2zx.
  • Segundas mistas:
    • \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(2xy+z^{2})=2x.
    • \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}+2yz)=2x.
    • \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(2xy+z^{2})=2z, etc.
  • Todas as segundas mistas coincidem (polinômio suave).

Resposta

  1. f(x,y)=3x-6y: \dfrac{\partial f}{\partial x}=3, \dfrac{\partial f}{\partial y}=-6. \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=0, \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=0. Schwarz: vale.
  2. f(x,y)=\dfrac{9y}{x^{2}} ( x\neq0): \dfrac{\partial f}{\partial x}=-\dfrac{18y}{x^{3}}, \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{9}{x^{2}}. \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=-\dfrac{18}{x^{3}}, \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=-\dfrac{18}{x^{3}}. Schwarz: vale no domínio x\neq0.
  3. f(x,y)=\operatorname{sen}\!\big(3x^{2}y\big): \dfrac{\partial f}{\partial x}=6xy\cos(3x^{2}y), \dfrac{\partial f}{\partial y}=3x^{2}\cos(3x^{2}y). \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=6x\cos(3x^{2}y)-18x^{3}y\operatorname{sen}(3x^{2}y), \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=6x\cos(3x^{2}y)-18x^{3}y\operatorname{sen}(3x^{2}y). Schwarz: vale.
  4. f(x,y,z)=4xyz+\ln(2xyz) ( xyz>0): \dfrac{\partial f}{\partial x}=4yz+\dfrac{1}{x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}=4xz+\dfrac{1}{y}, \dfrac{\partial f}{\partial z}=4xy+\dfrac{1}{z}. Segundas mistas: \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=4z=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}, \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial z}=4y=\dfrac{\partial^2 f}{\partial z\partial x}, \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}=4x=\dfrac{\partial^2 f}{\partial z\partial y}. Schwarz: vale no domínio xyz>0.
  5. f(x,y)=-5x^{2}+4y^{3}: \dfrac{\partial f}{\partial x}=-10x, \dfrac{\partial f}{\partial y}=12y^{2}. Segundas mistas zero. Schwarz: vale.
  6. f(x,y)=\big(2x^{2}-3y^{3}\big)^{3}: \dfrac{\partial f}{\partial x}=12x(2x^{2}-3y^{3})^{2}, \dfrac{\partial f}{\partial y}=-27y^{2}(2x^{2}-3y^{3})^{2}. \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=-216xy^{2}(2x^{2}-3y^{3}), \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=-216xy^{2}(2x^{2}-3y^{3}). Schwarz: vale.
  7. f(x,y)=4x^{5}\operatorname{sen}\!\big(2y^{3}\big): \dfrac{\partial f}{\partial x}=20x^{4}\operatorname{sen}(2y^{3}), \dfrac{\partial f}{\partial y}=24x^{5}y^{2}\cos(2y^{3}). \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=120x^{4}y^{2}\cos(2y^{3})=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}. Schwarz: vale.
  8. f(x,y,z)=e^{xy^{2}}+\ln(y+z) ( y+z>0): \dfrac{\partial f}{\partial x}=y^{2}e^{xy^{2}}, \dfrac{\partial f}{\partial y}=2xy e^{xy^{2}}+\dfrac{1}{y+z}, \dfrac{\partial f}{\partial z}=\dfrac{1}{y+z}. \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=2y e^{xy^{2}}+2x y^{3} e^{xy^{2}}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}. \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}=-\dfrac{1}{(y+z)^{2}}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial z\partial y}. Schwarz: vale no domínio y+z>0.
  9. f(x,y)=6x^{2}y-7x^{2}y^{2}: \dfrac{\partial f}{\partial x}=12xy-14xy^{2}, \dfrac{\partial f}{\partial y}=6x^{2}-14x^{2}y. \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=12x-28xy=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}. Schwarz: vale.
  10. f(x,y)=\sqrt{xy}=(xy)^{1/2} (usar x>0,y>0): \dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{y}{2\sqrt{xy}}, \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{x}{2\sqrt{xy}}. \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\dfrac{1}{4\sqrt{xy}}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}. Schwarz: vale para x>0,y>0.
  11. f(x,y)=7e^{2x^{2}y}: \dfrac{\partial f}{\partial x}=28xy e^{2x^{2}y}, \dfrac{\partial f}{\partial y}=14x^{2} e^{2x^{2}y}. \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=28x e^{2x^{2}y}+56x^{3}y e^{2x^{2}y}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}. Schwarz: vale.
  12. f(x,y,z)=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x: \dfrac{\partial f}{\partial x}=2xy+z^{2}, \dfrac{\partial f}{\partial y}=x^{2}+2yz, \dfrac{\partial f}{\partial z}=y^{2}+2zx. Segundas mistas: \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=2x=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}, \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial z}=2z=\dfrac{\partial^2 f}{\partial z\partial x}, \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}=2y=\dfrac{\partial^2 f}{\partial z\partial y}. Schwarz: vale.

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