Calcule as derivadas parciais das seguintes funções abaixo por meio das regras de derivação tradicionais e também aplique o Teorema de Schwarz naquelas em vermelho:
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Passo 1
O enunciado pede que eu calcule as derivadas parciais das funções listadas utilizando as regras tradicionais de diferenciação e que eu aplique o Teorema de Schwarz (igualdade das derivadas parciais mistas) nas funções que estiverem marcadas em vermelho. As funções fornecidas são (lista fiel do enunciado):
Informação importante: o enunciado menciona “aquelas em vermelho”, mas não foi enviada informação sobre quais funções estão em vermelho. Portanto, não é possível saber exatamente quais itens deveriam receber a aplicação explícita do Teorema de Schwarz. Para não deixar a parte de Schwarz incompleta, vou calcular as derivadas parciais de primeira ordem de todas as funções e, em seguida, calcular as derivadas parciais mistas relevantes
e
(e análogas em 3 variáveis) para verificar a igualdade em cada caso — o que equivale a “aplicar” o Teorema de Schwarz em todas as funções onde isso for significativo. Também indicarei as restrições de domínio necessárias (por exemplo
,
,
, etc.), pois a existência/continuidade das derivadas de segunda ordem depende do domínio.
Passo 2
Breve resumo das ferramentas que vou usar (aquelas “regras tradicionais” de que o enunciado fala), explicadas de forma prática:
-
Definição de derivada parcial: para uma função
, a derivada parcial em relação a é a derivada de quando se trata como constantes. Notação: ou . -
Regras básicas:
- Derivada de soma/constante:
, . - Potência:
(aplicada quando a variável aparece no fator). - Regra do produto (para funções
): . - Regra da cadeia: se
então . - Derivada de expo e log:
, . - Derivadas trigonométricas:
, . - Regra do quociente pode ser evitada se reescrever como potência negativa (por ex.
).
- Derivada de soma/constante:
-
Teorema de Schwarz (Clairaut): se as segundas derivadas mistas
e são contínuas numa vizinhança de um ponto, então elas são iguais naquele ponto. Na prática, para funções compostas por polinômios, exponenciais, logaritmos (em domínios adequados), raízes e funções trigonométricas, as segundas derivadas mistas costumam existir e ser contínuas dentro do domínio natural, então a igualdade normalmente vale.
Agora eu calculo, item por item, mostrando os passos e indicando as regras usadas.
Passo 3
Função 1:
.
- Regra usada: derivada de função linear.
-
. -
. - Segundas mistas:
e . Igualdade verificada.
Passo 4
Função 2:
. (Domínio:
.)
- Regra usada: potência negativa e derivada em relação a
; em é coeficiente multiplicativo. -
. -
. - Segundas mistas:
-
. -
.
-
- Igualdade verificada para
.
Passo 5
Função 3:
.
- Regra usada: cadeia com
. - Primeiro calcule
e . -
. -
. - Segundas mistas (computar com cuidado usando produto e cadeia):
-
com . - Derivada de
em : . - Substituindo
: .
- Derivada de
-
. - Derivada:
. - Substituindo
: .
- Derivada:
-
- As duas mistas coincidem, logo Schwarz vale (a função é suave em todo
).
Passo 6
Função 4:
. (Domínio:
, ou seja
, para o logaritmo real.)
- Regra usada: soma, produto, e derivada de
. - Derivada do termo polinomial:
-
. -
. -
.
-
- Derivada do log:
. (Idem para as outras variáveis.) - Portanto:
-
. -
. -
.
-
- Segundas mistas (ex.:
): -
. -
.
-
- Análogas para os outros pares: todas iguais (ex.:
, etc.). Schwarz vale no domínio .
Passo 7
Função 5:
.
- Regras: derivada de potência.
-
. -
. - Segundas mistas: ambas nulas (
e ). Schwarz vale.
Passo 8
Função 6:
.
- Regra usada: cadeia. Seja
. Então , . -
, . -
. -
. - Segundas mistas:
-
. -
.
-
- Igualdade verificada; função polinomial composta, portanto suave.
Passo 9
Função 7:
.
- Regra usada: produto
e . Observação: depende só de . -
. -
. - Segundas mistas:
-
. -
.
-
- Igualdade verificada.
Passo 10
Função 8:
. (Domínio:
.)
- Regras: cadeia para
e log para . - Derivadas de primeira ordem:
-
. -
. -
.
-
- Segundas mistas (ex.:
): -
. -
.
-
- Para os pares envolvendo
: -
. -
.
-
- Todas as mistas coincidem no domínio
.
Passo 11
Função 9:
.
- Regras: produto com potência.
-
(derivando em cada termo). -
. - Segundas mistas:
-
. -
.
-
- Igualdade verificada.
Passo 12
Função 10:
. (Para derivadas reais use
e
.)
- Regra usada: cadeia com potência; é útil reescrever
. -
. Alternativamente . -
. - Segundas mistas (mais simples se usar a forma fatorada): escrevendo
, -
. -
.
-
- Igualdade verificada para
.
Passo 13
Função 11:
.
- Regra: cadeia; seja
. -
, . -
. -
. - Segundas mistas:
-
. - Substituindo
: .
- Substituindo
-
. - Substituindo
: .
- Substituindo
-
- Coincidem; Schwarz vale.
Passo 14
Função 12:
.
- Regras: polinômio, derivadas simples.
-
. -
. -
. - Segundas mistas:
-
. -
. -
, etc.
-
- Todas as segundas mistas coincidem (polinômio suave).
Resposta
-
: , . , . Schwarz: vale. -
( ): , . , . Schwarz: vale no domínio . -
: , . , . Schwarz: vale. -
( ): , , . Segundas mistas: , , . Schwarz: vale no domínio . -
: , . Segundas mistas zero. Schwarz: vale. -
: , . , . Schwarz: vale. -
: , . . Schwarz: vale. -
( ): , , . . . Schwarz: vale no domínio . -
: , . . Schwarz: vale. -
(usar ): , . . Schwarz: vale para . -
: , . . Schwarz: vale. -
: , , . Segundas mistas: , , . Schwarz: vale.