Calcule as derivadas parciais indicadas para funções abaixo por meio da definição:
\begin{gathered} f(x, y)=4 x^{2}-3 x y \\\ f_{x}(x, y) \\\ f_{y}(x, y) \end{gathered} \begin{gathered} f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\\ f_{y}(x, y) \end{gathered} \begin{gathered} f(x, y)=x y^{2}-5 y+6 \\\ f_{x}(x, y) \end{gathered}
\begin{gathered} f(x, y)=3 x y+6 x-y^{2} \\\ f_{x}(x, y) \end{gathered} \begin{gathered} f(x, y)=\frac{x+2 y}{x^{2}-y} \\\ f_{x}(x, y) \end{gathered} \begin{gathered} f(x, y)=x^{2} y-3 x y^{2}+2 y z \\\ f_{z}(x, y, z) \end{gathered}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são as funções e derivadas solicitadas. O enunciado pede para calcular as derivadas parciais indicadas usando a definição (limite) para cada uma das funções abaixo:
  1. Função f(x,y)=4x^{2}-3xy. Pedidos: \,f_{x}(x,y) e \,f_{y}(x,y).
  2. Função f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Pedido: \,f_{y}(x,y).
  3. Função f(x,y)=x y^{2}-5y+6. Pedido: \,f_{x}(x,y).
  4. Função f(x,y)=3xy+6x-y^{2}. Pedido: \,f_{x}(x,y).
  5. Função f(x,y)=\dfrac{x+2y}{x^{2}-y}. Pedido: \,f_{x}(x,y).
  6. Função f(x,y,z)=x^{2}y-3xy^{2}+2yz. Pedido: \,f_{z}(x,y,z).
Tenho todas as informações necessárias. A partir do Passo 2 começamos a calcular cada derivada pela definição (limite).

Passo 2

Primeiro lembramos a definição de derivada parcial por limite (vou escrever as fórmulas e explicar rapidamente o que cada símbolo significa):
  • A derivada parcial de f em relação a x no ponto (x,y) é
f_{x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},
onde h é um incremento em x e y fica fixo.
  • A derivada parcial de f em relação a y no ponto (x,y) é
f_{y}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h},
onde h é um incremento em y e x fica fixo.
  • Para uma função de três variáveis, a derivada parcial em relação a z é
f_{z}(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y,z+h)-f(x,y,z)}{h},
onde x,y ficam fixos e só incrementa z.
Essas fórmulas dizem na prática: para calcular a derivada parcial em relação a uma variável, faz-se o quociente incremental variando só essa variável e depois toma-se o limite quando o incremento vai para zero. Agora aplicamos isso função a função.

Passo 3

Função f(x,y)=4x^{2}-3xy. Calcular f_{x}(x,y) pela definição.
  1. Calcular f(x+h,y):
f(x+h,y)=4(x+h)^{2}-3(x+h)y=4(x^{2}+2xh+h^{2})-3xy-3hy.
  1. Subtrair f(x,y):
f(x+h,y)-f(x,y)=\bigl(4x^{2}+8xh+4h^{2}-3xy-3hy\bigr)-\bigl(4x^{2}-3xy\bigr)=8xh+4h^{2}-3hy.
  1. Formar o quociente e simplificar:
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{8xh+4h^{2}-3hy}{h}=8x+4h-3y.
  1. Fazer o limite h\to0:
f_{x}(x,y)=\lim_{h\to0}(8x+4h-3y)=8x-3y.
Portanto f_{x}(x,y)=8x-3y.

Passo 4

Ainda para f(x,y)=4x^{2}-3xy. Calcular f_{y}(x,y) pela definição.
  1. Calcular f(x,y+h):
f(x,y+h)=4x^{2}-3x(y+h)=4x^{2}-3xy-3xh.
  1. Subtrair f(x,y) e dividir por h:
\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}=\frac{-3xh}{h}=-3x.
  1. Tomar o limite h\to0 (já independente de h):
f_{y}(x,y)=-3x.

Passo 5

Função f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Calcular f_{y}(x,y) pela definição (a técnica clássica aqui é racionalizar a diferença para eliminar as raízes).
  1. Escrevemos o quociente incremental:
\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}=\frac{\sqrt{x^{2}+(y+h)^{2}}-\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{h}.
  1. Multiplicar numerador e denominador pela conjugada para simplificar:
\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+2yh+h^{2}}-\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{h} \cdot\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+2yh+h^{2}}+\sqrt{x^{2}+y^{2}}} {\sqrt{x^{2}+y^{2}+2yh+h^{2}}+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
=\frac{(x^{2}+y^{2}+2yh+h^{2})-(x^{2}+y^{2})}{h\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}+2yh+h^{2}}+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)} =\frac{2yh+h^{2}}{h\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}+2yh+h^{2}}+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)}.
  1. Simplificar o fator h:
\frac{2y+h}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+2yh+h^{2}}+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
  1. Fazer o limite h\to0. No numerador fica 2y e no denominador a soma de duas raízes iguais a 2\sqrt{x^{2}+y^{2}}, desde que x^{2}+y^{2}\neq0. Logo
f_{y}(x,y)=\frac{2y}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\quad\text{para }(x,y)\neq(0,0).
Observação: em (x,y)=(0,0) a expressão acima não é válida (divisão por zero). Portanto o resultado vale para todos os pontos distintos da origem.

Passo 6

Função f(x,y)=x y^{2}-5y+6. Calcular f_{x}(x,y) pela definição.
  1. Calcular f(x+h,y):
f(x+h,y)=(x+h)y^{2}-5y+6=xy^{2}+hy^{2}-5y+6.
  1. Subtrair f(x,y) e dividir por h:
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{hy^{2}}{h}=y^{2}.
  1. Limite h\to0 (já constante):
f_{x}(x,y)=y^{2}.

Passo 7

Função f(x,y)=3xy+6x-y^{2}. Calcular f_{x}(x,y) pela definição.
  1. Calcular f(x+h,y):
f(x+h,y)=3(x+h)y+6(x+h)-y^{2}=3xy+3hy+6x+6h-y^{2}.
  1. Subtrair e dividir por h:
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{3hy+6h}{h}=3y+6.
  1. Limite h\to0:
f_{x}(x,y)=3y+6.

Passo 8

Função f(x,y)=\dfrac{x+2y}{x^{2}-y}. Calcular f_{x}(x,y) pela definição. Aqui é preciso combinar frações, fatorar h no numerador e depois cancelar para poder tomar o limite.
  1. Escrever o quociente incremental:
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{1}{h}\left(\frac{x+h+2y}{(x+h)^{2}-y}-\frac{x+2y}{x^{2}-y}\right).
  1. Fazer o numerador comum (vou chamar A=x+2y e D=x^{2}-y para clarear a conta):
\text{Numerador}=(A+h)D - A\bigl(D+2xh+h^{2}\bigr)=hD - A(2xh+h^{2}).
Isto é,
\text{Numerador}=h\bigl(D-2xA - hA\bigr).
  1. Dividindo por h e reescrevendo o denominador completo obtemos
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{D-2xA-hA}{\bigl((x+h)^{2}-y\bigr)\,(x^{2}-y)}.
  1. Tomando o limite h\to0 cancela o termo com h e aparece
f_{x}(x,y)=\frac{D-2xA}{D^{2}},
onde A=x+2y e D=x^{2}-y. Substituindo de volta:
f_{x}(x,y)=\frac{x^{2}-y-2x(x+2y)}{(x^{2}-y)^{2}} =\frac{-x^{2}-4xy-y}{(x^{2}-y)^{2}},
válido quando x^{2}-y\neq0 (ou seja, onde a função está definida).

Passo 9

Função f(x,y,z)=x^{2}y-3xy^{2}+2yz. Calcular f_{z}(x,y,z) pela definição.
  1. Calcular f(x,y,z+h):
f(x,y,z+h)=x^{2}y-3xy^{2}+2y(z+h)=x^{2}y-3xy^{2}+2yz+2yh.
  1. Subtrair f(x,y,z) e dividir por h:
\frac{f(x,y,z+h)-f(x,y,z)}{h}=\frac{2yh}{h}=2y.
  1. Limite h\to0:
f_{z}(x,y,z)=2y.

Resposta

\;f_{x}(x,y)=8x-3y
\;f_{y}(x,y)=-3x
\;f_{y}(x,y)=\dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\quad (x,y)\neq(0,0)
\;f_{x}(x,y)=y^{2}
\;f_{x}(x,y)=3y+6
\;f_{x}(x,y)=\dfrac{-x^{2}-4xy-y}{(x^{2}-y)^{2}}\quad (x^{2}-y\neq0)
\;f_{z}(x,y,z)=2y

Exercícios relacionados