Calcule as derivadas parciais indicadas para funções abaixo por meio da definição:
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Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são as funções e derivadas solicitadas. O enunciado pede para calcular as derivadas parciais indicadas usando a definição (limite) para cada uma das funções abaixo:
- Função
. Pedidos: e . - Função
. Pedido: . - Função
. Pedido: . - Função
. Pedido: . - Função
. Pedido: . - Função
. Pedido: .
Tenho todas as informações necessárias. A partir do Passo 2 começamos a calcular cada derivada pela definição (limite).
Passo 2
Primeiro lembramos a definição de derivada parcial por limite (vou escrever as fórmulas e explicar rapidamente o que cada símbolo significa):
- A derivada parcial de
em relação a no ponto é
onde
é um incremento em
e
fica fixo.
- A derivada parcial de
em relação a no ponto é
onde
é um incremento em
e
fica fixo.
- Para uma função de três variáveis, a derivada parcial em relação a
é
onde
ficam fixos e só incrementa
.
Essas fórmulas dizem na prática: para calcular a derivada parcial em relação a uma variável, faz-se o quociente incremental variando só essa variável e depois toma-se o limite quando o incremento vai para zero. Agora aplicamos isso função a função.
Passo 3
Função
. Calcular
pela definição.
- Calcular
:
- Subtrair
:
- Formar o quociente e simplificar:
- Fazer o limite
:
Portanto
.
Passo 4
Ainda para
. Calcular
pela definição.
- Calcular
:
- Subtrair
e dividir por :
- Tomar o limite
(já independente de ):
Passo 5
Função
. Calcular
pela definição (a técnica clássica aqui é racionalizar a diferença para eliminar as raízes).
- Escrevemos o quociente incremental:
- Multiplicar numerador e denominador pela conjugada para simplificar:
- Simplificar o fator
:
- Fazer o limite
. No numerador fica e no denominador a soma de duas raízes iguais a , desde que . Logo
Observação: em
a expressão acima não é válida (divisão por zero). Portanto o resultado vale para todos os pontos distintos da origem.
Passo 6
Função
. Calcular
pela definição.
- Calcular
:
- Subtrair
e dividir por :
- Limite
(já constante):
Passo 7
Função
. Calcular
pela definição.
- Calcular
:
- Subtrair e dividir por
:
- Limite
:
Passo 8
Função
. Calcular
pela definição. Aqui é preciso combinar frações, fatorar
no numerador e depois cancelar para poder tomar o limite.
- Escrever o quociente incremental:
- Fazer o numerador comum (vou chamar
e para clarear a conta):
Isto é,
- Dividindo por
e reescrevendo o denominador completo obtemos
- Tomando o limite
cancela o termo com e aparece
onde
e
. Substituindo de volta:
válido quando
(ou seja, onde a função está definida).
Passo 9
Função
. Calcular
pela definição.
- Calcular
:
- Subtrair
e dividir por :
- Limite
: