Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=\cos \left(\frac{y}{1+x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=\cos\!\biggl(\frac{y}{1+x^{2}}\biggr).
O conteúdo necessário é o uso da regra da cadeia para funções compostas e a derivada de quociente.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x,y)=\frac{y}{1+x^{2}},
de modo que f(x,y)=\cos(u). Pela regra da cadeia, temos
\frac{\partial f}{\partial x}=-\sin(u)\,\frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=-\sin(u)\,\frac{\partial u}{\partial y}.

Passo 3

Para calcular \partial u/\partial x, escrevemos
u=y\cdot(1+x^{2})^{-1}.
Como y é constante em relação a x,
\frac{\partial u}{\partial x} =y\cdot\bigl(-1\bigr)(1+x^{2})^{-2}\cdot 2x =-\frac{2xy}{(1+x^{2})^{2}}.

Passo 4

Substituindo em \partial f/\partial x,
\frac{\partial f}{\partial x} =-\sin\!\biggl(\frac{y}{1+x^{2}}\biggr)\,\Bigl(-\frac{2xy}{(1+x^{2})^{2}}\Bigr) =\frac{2xy}{(1+x^{2})^{2}}\;\sin\!\biggl(\frac{y}{1+x^{2}}\biggr).

Passo 5

Para \partial u/\partial y, como x é constante,
\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 6

Substituindo em \partial f/\partial y,
\frac{\partial f}{\partial y} =-\sin\!\biggl(\frac{y}{1+x^{2}}\biggr)\,\frac{1}{1+x^{2}} =-\frac{1}{1+x^{2}}\;\sin\!\biggl(\frac{y}{1+x^{2}}\biggr).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{2xy}{(1+x^{2})^{2}}\;\sin\!\biggl(\frac{y}{1+x^{2}}\biggr), \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =-\frac{1}{1+x^{2}}\;\sin\!\biggl(\frac{y}{1+x^{2}}\biggr).

Exercícios relacionados