Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: w=e^x^2 y^3 z^4

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da função w = e^x^2 y^3 z^4 em relação a x, y e z. O conteúdo é derivadas parciais de funções compostas, e vamos usar a regra da cadeia: se w = e^u(x,y,z), então partial w/partial x = e^u,partial u/partial x, e analogamente para as outras variáveis.

Passo 2

Definimos u(x,y,z)=x^2y^3z^4. Para calcular partial w/partial x, tratamos y e z como constantes e aplicamos a regra da cadeia.

Passo 3

Calculamos partial u/partial x usando derivada de potência: partial u/partial x=2x,y^3z^4. Logo, pela regra da cadeia:
partial wpartial x=e^ucdotpartial upartial x=e^x^2y^3z^4cdot2x,y^3z^4

Passo 4

De forma análoga, para partial w/partial y temos partial u/partial y=3x^2y^2z^4, de modo que
partial wpartial y=e^x^2y^3z^4cdot3x^2y^2z^4
Para partial w/partial z, partial u/partial z=4x^2y^3z^3, e assim
partial wpartial z=e^x^2y^3z^4cdot4x^2y^3z^3

Resposta

As derivadas parciais são:
partial wpartial x=2x,y^3z^4,e^x^2y^3z^4,
partial wpartial y=3x^2y^2z^4,e^x^2y^3z^4,
partial wpartial z=4x^2y^3z^3,e^x^2y^3z^4

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