Calcule a integral abaixo:
integral x^3 d xraizx^2+4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x^3raizx^2+4,dx. O conteúdo principal é aplicar uma substituição conveniente para lidar com o radical raizx^2+4, e vamos usar a técnica de substituição simples para transformar tudo em função de uma nova variável.

Passo 2

Definimos t = x^2 + 4. Então temos dt = 2x,dx, ou seja x,dx = tfrac12dt. Além disso, note que x^2 = t - 4, logo, para reescrever x^3,dx usamos x^3,dx = x^2,(x,dx) = (t - 4) cdot 12dt = t-42,dt. E raizx^2+4=raizt=t^1/2. Assim a integral vira
block integrand

Passo 3

Agora distribuímos dentro do integrando:
block distributed

Passo 4

A integral fica
block simplified

Passo 5

Para integrar usamos a regra de potência:
block integration

Passo 6

Multiplicando pelo fator tfrac12 e somando as constantes, obtemos
block after

Passo 7

Voltando a substituir t = x^2+4, a antiderivada final é
block final

Resposta

13,(x^2+4)^3/2 ; -; 4,(x^2+4)^1/2 ; + C

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