Calcule a integral abaixo:
integral x^2 d x(x^2-1)^5 / 2, x>1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x^2(x^2-1)^5/2,dx para x>1. Vamos usar substituição trigonométrica pois há raizx^2-1 no denominador.

Passo 2

Como x>1, fazemos a substituição x=sec t. Assim, temos
dx=sec ttan t,dt,
x^2-1=tan^2te (x^2-1)^5/2=tan^5t

Passo 3

Substituindo na integral obtemos
integral x^2,dx(x^2-1)^5/2 =integral sec^2tcdot(sec ttan t)tan^5t,dt =integral sec^3ttan ttan^5t,dt =integral sec^3ttan^4t,dt
Usando sec t=1/cos t e tan t=sin t/cos t, simplificamos:
sec^3ttan^4t =1/cos^3t(sin^4t/cos^4t) =cos tsin^4t
A integral vira integral cos tsin^4t,dt.

Passo 4

Para resolver integral cos tsin^4t,dt, fazemos u=sin t, logo du=cos t,dt. A integral passa a ser
integral u^-4,du =u^-3-3+C =-13u^3+C

Passo 5

Voltando para x, temos u=sin t=tfracraizx^2-1x. Portanto,
-13u^3 =-13cdotx^3(x^2-1)^3/2 =-x^33(x^2-1)^3/2+C

Resposta

-\frac{x{3}}{3(x{2}-1)^{3/2}}+C

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