Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: z=y^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da função z = y^x. O conteúdo é derivação parcial de uma função com expoente variável, e vamos precisar usar a representação y^x = e^x ln y (pressupondo y>0), além da regra da cadeia e as derivadas de exponencial e logaritmo.

Passo 2

Para calcular partial zpartial x, reescrevemos z = e^x ln y. Aplicando a regra de derivada de exponencial: se z=e^u, então partial z/partial x = e^u cdot (partial u/partial x). Aqui u = x ln y e partial u/partial x = ln y. Logo,
partial zpartial x = e^x ln y cdot ln y = y^x ln y

Passo 3

Para calcular partial zpartial y, usamos novamente z = e^x ln y. Aplicando a regra da cadeia, temos u = x ln y e partial u/partial y = x cdot 1y. Assim,
partial zpartial y = e^x ln y cdot xy = y^x cdot xy = x,y^x-1

Resposta

As derivadas parciais são partial zpartial x = y^x ln y e partial zpartial y = x,y^x-1.

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