Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: z=xraizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular as derivadas parciais da função . Isso está dentro do estudo de cálculo multivariável, mais especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver isso, a gente vai precisar usar as regras de derivação, como a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso significa que vamos tratar como uma constante e ver como muda quando muda.
A função é . Para derivar isso, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função , sua derivada é .
Aqui, e .

Passo 3

Vamos encontrar v' = 12(x^2 + y^2)^-1/2 cdot 2x = xraizx^2 + y^2 e :
  • Para , primeiro escrevemos . Usando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, aplicando a regra do quociente:
partial zpartial x = u'v - uv'v^2 = 1 cdot raizx^2 + y^2 - x cdot xraizx^2 + y^2( raizx^2 + y^2 )^2
Simplificando o numerador:
raizx^2 + y^2 - x^2raizx^2 + y^2 = (x^2 + y^2) - x^2raizx^2 + y^2 = y^2raizx^2 + y^2
E o denominador:
(raizx^2 + y^2)^2 = x^2 + y^2

Passo 5

Então, temos:
partial zpartial x = y^2raizx^2 + y^2x^2 + y^2 = y^2(x^2 + y^2)^3/2

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, usamos a regra do quociente, mas agora tratando como constante.
A função continua sendo , com e .

Passo 7

Encontrando e em relação a :
  • (já que é constante)

Passo 8

Aplicando a regra do quociente:
partial zpartial y = 0 cdot raizx^2 + y^2 - x cdot yraizx^2 + y^2( raizx^2 + y^2 )^2 = -x y (x^2 + y^2)^3/2

Resposta

As derivadas parciais da função partial zpartial x = y^2(x^2 + y^2)^3/2 são:
partial zpartial y = -xy(x^2 + y^2)^3/2
e

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