Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular as derivadas parciais da função
. Isso está dentro do estudo de cálculo multivariável, mais especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver isso, a gente vai precisar usar as regras de derivação, como a regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa que vamos tratar
como uma constante e ver como
muda quando
muda.
A função é
. Para derivar isso, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função
, sua derivada é
.
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos encontrar
e
:
-
- Para
, primeiro escrevemos . Usando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
E o denominador:
Passo 5
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, usamos a regra do quociente, mas agora tratando
como constante.
A função continua sendo
, com
e
.
Passo 7
Encontrando
e
em relação a
:
-
(já que é constante) -
Passo 8
Aplicando a regra do quociente:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e