Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de:
(29.1) z=x^3 y-2 x^2 y^2+5 x y-2 x.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de z em função de x e y. O conteúdo aqui é derivação parcial e vamos precisar aplicar as regras de derivada (produto e potência) primeiro para achar z_x e z_y, e depois derivar novamente para obter z_{xx}, z_{xy} e z_{yy}.

Passo 2

Para achar a derivada parcial de primeira ordem em relação a x, tratamos y como constante. Aplicando produto e potência em cada termo de z = x^3 y - 2 x^2 y^2 + 5 x y - 2 x, obtemos:
zx = partialpartial x(x^3 y) - 2partialpartial x(x^2 y^2) + 5partialpartial x(x y) - 2partialpartial x(x)
Calculando cada parte:
partialpartial x(x^3 y)=3x^2y, partialpartial x(x^2 y^2)=2xy^2, partialpartial x(x y)=y, partialpartial x(x)=1
Logo
zx = 3x^2 y - 2cdot 2 x y^2 + 5y - 2 = 3x^2y -4xy^2 +5y -2

Passo 3

Agora achamos a parcial de primeira ordem em relação a y, tratando x como constante. De z = x^3 y - 2 x^2 y^2 + 5 x y - 2 x, temos:
zy = partialpartial y(x^3 y) - 2partialpartial y(x^2 y^2) + 5partialpartial y(x y) - 2partialpartial y(x)
Calculando:
partialpartial y(x^3 y)=x^3, partialpartial y(x^2 y^2)=2x^2y, partialpartial y(x y)=x, partialpartial y(x)=0
Logo
zy = x^3 - 2cdot 2 x^2y + 5x = x^3 -4x^2y +5x

Passo 4

Para as derivadas de segunda ordem, começamos diferenciando z_x. Primeiro z_{xx}= partial/partial x de z_x = 3x^2y -4xy^2 +5y -2, tratando y como constante:
zxx = 6xy -4y^2 +0 +0 = 6xy -4y^2
Em seguida z_{xy}= partial/partial y de z_x, tratando x como constante:
zxy = partialpartial y(3x^2y) -4partialpartial y(xy^2) +5partialpartial y(y) -2partialpartial y(1)
Calculando:
partialpartial y(3x^2y)=3x^2, partialpartial y(x y^2)=2xy, partialpartial y(y)=1, partialpartial y(1)=0
Logo
zxy = 3x^2 -4cdot 2xy +5 = 3x^2 -8xy +5

Passo 5

Finalmente, para z_{yy}, diferenciamos z_y = x^3 -4x^2y +5x em relação a y, tratando x como constante:
zyy = partialpartial y(x^3) -4x^2partialpartial y(y) +5xpartialpartial y(1)
Como x^3 e 5x são constantes em y e partial y/partial y=1, temos:
zyy = 0 -4x^2cdot1 +0 = -4x^2

Resposta

z_{xx} = 6xy -4y^2, z_{xy} = 3x^2 -8xy +5, z_{yy} = -4x^2

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