Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de:
(29.1)
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(29.1)
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de z em função de x e y. O conteúdo aqui é derivação parcial e vamos precisar aplicar as regras de derivada (produto e potência) primeiro para achar z_x e z_y, e depois derivar novamente para obter z_{xx}, z_{xy} e z_{yy}.
Passo 2
Para achar a derivada parcial de primeira ordem em relação a x, tratamos y como constante. Aplicando produto e potência em cada termo de z = x^3 y - 2 x^2 y^2 + 5 x y - 2 x, obtemos:
Calculando cada parte:
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Passo 3
Agora achamos a parcial de primeira ordem em relação a y, tratando x como constante. De z = x^3 y - 2 x^2 y^2 + 5 x y - 2 x, temos:
Calculando:
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Passo 4
Para as derivadas de segunda ordem, começamos diferenciando z_x. Primeiro z_{xx}=
de z_x = 3x^2y -4xy^2 +5y -2, tratando y como constante:
Em seguida z_{xy}=
de z_x, tratando x como constante:
Calculando:
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Passo 5
Finalmente, para z_{yy}, diferenciamos z_y = x^3 -4x^2y +5x em relação a y, tratando x como constante:
Como x^3 e 5x são constantes em y e
, temos:
Resposta
z_{xx} = 6xy -4y^2, z_{xy} = 3x^2 -8xy +5, z_{yy} = -4x^2