Determine se os limites abaixo existem, justificando:
lim (x, y) (0,0) x^2-2 x y+5 y^23 x^2+4 y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o limite de uma função de duas variáveis em (0,0) existe. O conteúdo da matéria é limite de função de várias variáveis e vamos precisar usar o teste por trajetórias (substituir retas y=mx) para checar se o valor é independente do caminho.

Passo 2

Consideramos a reta y = m x e substituímos na função para ver o comportamento quando (x,y)→(0,0):
x^2-2x(mx)+5(mx)^23x^2+4(mx)^2 =x^2-2m x^2+5m^2x^23x^2+4m^2x^2 =1-2m+5m^23+4m^2
Esse valor é constante em x, mas depende de m.

Passo 3

Para concluir, basta notar que diferentes valores de m geram limites diferentes. Por exemplo, se m=0 obtemos 1/3 e se m=1 obtemos 4/7. Como o resultado varia com a trajetória, o limite não é único e, portanto, não existe.

Resposta

O limite não existe.

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