Determine se os limites abaixo existem, justificando:
Passo 1
A questão pede para verificar se o limite da função de duas variáveis
existe quando
. O conteúdo é limite de funções de várias variáveis e vamos usar a ideia de comparar valores do limite por diferentes trajetórias para testar a existência.
Passo 2
Uma estratégia clássica é avaliar o limite ao longo de eixos ou retas. Primeiro, ao longo de
, temos:
Agora, ao longo de
Passo 3
Já vemos que por duas trajetórias simples o limite dá valores distintos (2 e
). Para reforçar, podemos usar a reta genérica
. Substituindo:
Passo 4
Quando um limite de função de várias variáveis depende da trajetória de aproximação, concluímos que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.