Determine se os limites abaixo existem, justificando:
lim (x, y) (0,0) 2 x^2-y^2x^2+2 y^2

Passo 1

A questão pede para verificar se o limite da função de duas variáveis f(x,y)=2x^2 - y^2x^2 + 2y^2 existe quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é limite de funções de várias variáveis e vamos usar a ideia de comparar valores do limite por diferentes trajetórias para testar a existência.

Passo 2

Uma estratégia clássica é avaliar o limite ao longo de eixos ou retas. Primeiro, ao longo de y=0, temos:
f(x,0)=2x^2 - 0^2x^2 + 2cdot0^2=2x^2x^2=2
Agora, ao longo de x=0, obtemos:
f(0,y)=2cdot0^2 - y^20^2 + 2y^2=-y^22y^2=-tfrac12

Passo 3

Já vemos que por duas trajetórias simples o limite dá valores distintos (2 e -tfrac12). Para reforçar, podemos usar a reta genérica y=mx. Substituindo:
f(x,mx)=2x^2 - m^2x^2x^2 + 2m^2x^2=2 - m^21 + 2m^2, que depende do parâmetro m. Como isso varia com m, não há um único valor limite.

Passo 4

Quando um limite de função de várias variáveis depende da trajetória de aproximação, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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