Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de:
(29.6) w=x^2 y^3 z^4.

Passo 1

Resumindo: temos a função w(x,y,z)=x^2y^3z^4 e queremos todas as derivadas parciais de segunda ordem. O conteúdo aqui é derivadas parciais e vamos usar a regra da potência, tratando as outras variáveis como constantes.

Passo 2

Primeiro, encontramos as derivadas parciais de primeira ordem em x, y e z. Como y e z são constantes ao derivar em x e assim por diante, aplicamos a regra da potência:
wx = partialpartial x(x^2y^3z^4) = 2x,y^3z^4
wy = partialpartial y(x^2y^3z^4) = 3x^2,y^2z^4
wz = partialpartial z(x^2y^3z^4) = 4x^2,y^3z^3

Passo 3

Em seguida, diferenciamos de novo cada derivada de primeira ordem em relação à mesma variável para obter as derivadas puras de segunda ordem:
wxx = partialpartial x(2x,y^3z^4) = 2,y^3z^4
wyy = partialpartial y(3x^2,y^2z^4) = 6x^2,y,z^4
wzz = partialpartial z(4x^2,y^3z^3) = 12x^2,y^3z^2

Passo 4

Por fim, calculamos as derivadas mistas diferenciando cada derivada de primeira ordem em relação a outra variável:
wxy = partialpartial y(2x,y^3z^4) = 6x,y^2z^4
wxz = partialpartial z(2x,y^3z^4) = 8x,y^3z^3
wyz = partialpartial z(3x^2,y^2z^4) = 12x^2,y^2z^3
Note que, pelo teorema de Schwarz, wxy=wyx, wxz=wzx e wyz=wzy.

Resposta

wxx = 2,y^3z^4
wyy = 6x^2,y,z^4
wzz = 12x^2,y^3z^2
wxy = wyx = 6x,y^2z^4
wxz = wzx = 8x,y^3z^3
wyz = wzy = 12x^2,y^2z^3

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