(Projeções) A interseção de duas superfícies S1: z=f(x, y) e S2: z=g(x, y) gera uma curva C no espaço, que é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) com z=f(x, y) e z=g(x, y). O conjunto de todos os pontos ( x, y, 0 ) com
f(x, y)=g(x, y)
é chamado a projeção de C sobre o plano xy.
Determine a projeção de C sobre o plano xy.
4a) Os planos x+2 y+3 z=6 e x+y-2 z=6
4b) A esfera x^2+y^2+(z-1)^2=32 e o hiperbolóide x^2+y^2-z^2=1
4c) A esfera x^2+y^2+(z-2)^2=2 e o cone x^2+y^2=z^2
4d) O cilindro y^2+z-4=0 e o parabolóide x^2+3 y^2=z

Passo 1

O enunciado pede a projeção no plano xy da curva de interseção C de duas superfícies S₁ e S₂. Como C é dado por z=f(x,y) e z=g(x,y), sua projeção satisfaz f(x,y)=g(x,y). Vamos aplicar isso em cada item.

Passo 2

As superfícies são dois planos:
S₁: x+2y+3z=6 ⇒ z=\frac{6−x−2y}{3}
S₂: x+y−2z=6 ⇒ z=\frac{x+y−6}{2}
Igualando f(x,y) e g(x,y):
6−x−2y3=x+y−62
Multiplicando 2(6−x−2y)=3(x+y−6) e simplificando obtemos
5x+7y=30
A projeção é a reta dada por 5x+7y=30.

Passo 3

As superfícies são a esfera e o hiperbolóide:
Esfera: x²+y²+(z−1)²=3/2
Hiperbolóide: x²+y²−z²=1
Subtraindo as equações elimina x²+y²:
(z−1)²+z²=tfrac12²²
que leva a z=1/2. Então x²+y²=1+z²=5/4.
A projeção é o círculo x²+y²=5/4²².

Passo 4

As superfícies são a esfera e o cone:
Esfera: x²+y²+(z−2)²=2
Cone: x²+y²=z²
Subtraindo x²+y² de ambas:
(z−2)²−z²=2²²
Resulta em z=1 e, portanto, x²+y²=1.
A projeção é o círculo x²+y²=1²².

Passo 5

As superfícies são o cilindro e o parabolóide:
Cilindro: y²+z−4=0 ⇒ z=4−y²
Parabolóide: x²+3y²=z
Igualando ambos:
x²+3y²=4−y²²²²
que simplifica para
x²+4y²=4²²
A projeção é a elipse x²+4y²=4²².

Resposta

a) 5x+7y=30
b) x²+y²=5/4
c) x²+y²=1
d) x²+4y²=4

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