(Projeções) A interseção de duas superfícies
e
gera uma curva
no espaço, que é o conjunto de todos os pontos
e
. O conjunto de todos os pontos (
) com
é chamado a projeção de C sobre o plano xy.
Determine a projeção de C sobre o plano xy.
4a) Os planos
e
4b) A esfera
e o hiperbolóide
4c) A esfera
e o cone
4d) O cilindro
e o parabolóide
Determine a projeção de C sobre o plano xy.
4a) Os planos
4b) A esfera
4c) A esfera
4d) O cilindro
Passo 1
O enunciado pede a projeção no plano xy da curva de interseção C de duas superfícies S₁ e S₂. Como C é dado por z=f(x,y) e z=g(x,y), sua projeção satisfaz f(x,y)=g(x,y). Vamos aplicar isso em cada item.
Passo 2
As superfícies são dois planos:
S₁: x+2y+3z=6 ⇒ z=\frac{6−x−2y}{3}
S₂: x+y−2z=6 ⇒ z=\frac{x+y−6}{2}
Igualando f(x,y) e g(x,y):
S₁: x+2y+3z=6 ⇒ z=\frac{6−x−2y}{3}
S₂: x+y−2z=6 ⇒ z=\frac{x+y−6}{2}
Igualando f(x,y) e g(x,y):
Multiplicando 2(6−x−2y)=3(x+y−6) e simplificando obtemos
A projeção é a reta dada por
.
Passo 3
As superfícies são a esfera e o hiperbolóide:
Esfera: x²+y²+(z−1)²=3/2
Hiperbolóide: x²+y²−z²=1
Subtraindo as equações elimina x²+y²:
Esfera: x²+y²+(z−1)²=3/2
Hiperbolóide: x²+y²−z²=1
Subtraindo as equações elimina x²+y²:
que leva a z=1/2. Então x²+y²=1+z²=5/4.
A projeção é o círculo
Passo 4
As superfícies são a esfera e o cone:
Esfera: x²+y²+(z−2)²=2
Cone: x²+y²=z²
Subtraindo x²+y² de ambas:
Esfera: x²+y²+(z−2)²=2
Cone: x²+y²=z²
Subtraindo x²+y² de ambas:
Resulta em z=1 e, portanto, x²+y²=1.
A projeção é o círculo
Passo 5
As superfícies são o cilindro e o parabolóide:
Cilindro: y²+z−4=0 ⇒ z=4−y²
Parabolóide: x²+3y²=z
Igualando ambos:
Cilindro: y²+z−4=0 ⇒ z=4−y²
Parabolóide: x²+3y²=z
Igualando ambos:
que simplifica para
A projeção é a elipse
.
Resposta
a) 5x+7y=30
b) x²+y²=5/4
c) x²+y²=1
d) x²+4y²=4
b) x²+y²=5/4
c) x²+y²=1
d) x²+4y²=4